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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

1728とラマヌジャンと線形代数

 1728 といえば、ラマヌジャンの「タクシー数」のエピソードを思い出します。

 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

 1729 という数に、ラマヌジャンが一瞬で「2通りの3乗数和の形で表せる最小の数」という意味を見出した、という話はよく知られていますね。


この式を導くポイントは、 1728 という数が  12^3 であることです。 10^3 = 1000 9^3 = 729 はなんとなく覚えている人が多いでしょうから、比較的自然に導くことができます。


さて今日は、この  1728 という数とラマヌジャンの「もう一つのつながり」を見せるエピソードをご紹介します。

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続・XX + XY + 6YY の形で表せる素数

これまで「類体論」の勉強をしてきましたが,その集大成となる記事を書きたいと思います。本日扱いたいのは,およそ一年前に紹介した以下の問題です。

 p = X^2 +XY + 6Y^2 の形でかける素数はどのような法則を満たすか?

その一年前の記事はこちら:
tsujimotter.hatenablog.com

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ガウスの種の理論 (Genus Theory)

今日考えたい問題は  p = X^2 + 5Y^2 という二次形式で書ける素数の法則です。実際,

 p \equiv 1, 9 \pmod{20} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 +5Y^2

という法則が知られており, K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) の素イデアル分解によって説明できます。これについて,以前の記事でまとめたことがありました。
tsujimotter.hatenablog.com

一方で,上の記事では「たまたまそういう条件のときに  X^2 + 5Y^2 と書ける」程度の説明となっており「なぜそのような法則が得られるか」という根拠がまったくわかりませんでした。

今日は「ガウスの種の理論」によってこの根拠を説明します。種の理論は「指標」という概念を用いて二次形式やイデアル類群を分類しようという試みです。

種の理論は,単に上記の法則の説明を与えるにとどまらず,もっと一般的に二次形式で表せる素数の条件についてザックザクと法則を導くことができます。魅力的なトピックです。


しかしながら,やや難解で抽象的な議論が続くことになります。私もずっと理解したいと思っていたのですが,難しくてこれまで理解することができませんでした。数日前にこの記事に書いた理解に到達できたという状況です。


抽象的な内容を理解しやすいよう,可能なかぎり具体的例を用いて考えていきたいと思います。後半にたくさん二次形式の例が登場します。いろいろ遊ぶことができますので,辛抱強く読んでもらえると嬉しいです。

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163とドカベン素数

4 で割って 1 あまる素数は,すべて2つの平方数の和でかける

という事実は,非常に有名なのでご存知の方も多いかと思います。私のブログでもたびたび取り上げてきました。フェルマーが発見したので,フェルマーの二平方定理(あるいは,二平方和の定理)という名前が付いています。
tsujimotter.hatenablog.com


私の大好きな定理の一つで,見かけによらず非常に奥が深い定理です。そのため,人に話したくてたまらないわけですが,他人に説明しようとすると1つ面倒な問題が発生します。

この「4 で割って 1 あまる素数」という言い回しが,長くて言いづらいのです。この手の説明をしているといちいち「4 で割って 1 あまる素数が・・・」と言わなければならず,とてもまどろっこしいわけです。

「奇数(2 で割って 1 あまる数)」のような名前がついていれば便利なのに・・・。


この問題に対し,鯵坂もっちょさん(アジマティクスの著者)という方が,画期的な解決策を思いつきました。以下のスライドをご覧ください。

www.slideshare.net

簡単に説明すると, 4 で割ったあまりを「春夏秋冬」に対応づけるのです。 4 で割って  1 あまる素数は 「夏素数」 と呼ぶことにします。


この方法を用いると,先の定理は以下のように簡潔に表せます。

夏素数は,すべて2つの平方数の和でかける

これなら「あれ?4で割っていくつあまるんだっけ?」と考えなくても済みますね。

便利。


さて今日は,もっちょさんの手法をさらに発展させて,163 で割ったあまりの法則について考えてみたいと思います。

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2017は非正則素数

今年は西暦 2017 年ですが,2017 は素数 ということで各所で盛り上がったことと思います。

実は,2017は単に素数なだけではなく,非正則素数 という重要な素数でもあるのです。今日はそのことを紹介します。

概要:

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二次体の分解法則と平方剰余の相互法則

前回に引き続き類体論に関するお話です。続きものなので,ぜひ以下の記事を読んでからきてください。
tsujimotter.hatenablog.com

今日の主役は 二次体 です。二次体とは,平方因子を持たない  d に対して  K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) の形で与えられる  \mathbb{Q} の二次拡大体のことです。一見簡単そうな形をしていますが,実は結構奥が深いのです。

前回の記事の最後に述べた通り,二次体の分解法則は円分体の分解法則の導出の延長線上で導くことができるのです。しかも面白いことに,二次体だけの議論ではうまくいかず,なんと円分体の理論を援用することになります。

記事の最後には,今回の話の応用として得られる

「平方剰余の相互法則」

についても触れたいと思います。平方剰余の相互法則は,二次体と円分体が密接に結びついてできた定理だと言えるでしょう。

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円分体の類体論の復習

tsujimotter.hatenablog.com
以上の記事では,整数論にガロア理論を適用させ,素イデアルの分解法則を見出す「ヒルベルトの理論」の枠組みを紹介し,その系として円分体の分解法則を導きました。

上の記事から半年以上経っているので,円分体の類体論を復習しつつ,言い足りなかったことを少し補足したいと思います。

復習するテーマは大きく分けて以下の2つです。
・ガロア拡大における分解法則とフロベニウス
・円分体の素イデアル分解法則

この記事のすぐあとに,続きの記事を書きたいと思っています。今回の記事はそのための準備です。例によって,少々レベルが高い記事になりますが,よかったら合わせて読んでみてください。

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