2017-01-29

パッと見素数 "91" を素数判定に活用する

素数自由研究・独自研究日曜数学

91 という数は、見た目が素数っぽくてつい間違えてしまうという

「パッと見素数」

です。
motcho.hateblo.jp

素数と間違えやすいので、たとえば素数を使ったカードゲーム*1においては、間違えて悔しい思いをした方もいるかもしれません。

「いやな数」と思われがちな 91 ですが、tsujimotterとしてはどんな数でも好きになってもらいたい。

そんな風に考えていたかどうかはさておき・・・

もしかしたら 91 が素数判定で活躍するかもしれないというアイデアを得ましたのでご紹介します。

*1:たとえば、「素数大富豪」という素晴らしいトランプゲームがあります。 integers.hatenablog.com

2017-01-24

1728とラマヌジャンと線形代数

ラマヌジャン保型形式数学

$1728$ といえば、ラマヌジャンの「タクシー数」のエピソードを思い出します。

$1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3$

$1729$ という数に、ラマヌジャンが一瞬で「２通りの３乗数和の形で表せる最小の数」という意味を見出した、という話はよく知られていますね。

この式を導くポイントは、 $1728$ という数が $12^3$ であることです。 $10^3 = 1000$ と $9^3 = 729$ はなんとなく覚えている人が多いでしょうから、比較的自然に導くことができます。

さて今日は、この $1728$ という数とラマヌジャンの「もう一つのつながり」を見せるエピソードをご紹介します。

2017-01-22

続・XX + XY + 6YY の形で表せる素数

数学素数類体論二次形式イデアル類群・類数ガロア表現

これまで「類体論」の勉強をしてきましたが，その集大成となる記事を書きたいと思います。本日扱いたいのは，およそ一年前に紹介した以下の問題です。

$p = X^2 +XY + 6Y^2$ の形でかける素数はどのような法則を満たすか？

その一年前の記事はこちら：
tsujimotter.hatenablog.com

2017-01-15

ガウスの種の理論 (Genus Theory)

数学素数と２次体の整数論二次形式素数整数論イデアル類群・類数

今日考えたい問題は $p = X^2 + 5Y^2$ という二次形式で書ける素数の法則です。実際，

$p \equiv 1, 9 \pmod{20} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 +5Y^2$

という法則が知られており， $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の素イデアル分解によって説明できます。これについて，以前の記事でまとめたことがありました。
tsujimotter.hatenablog.com

一方で，上の記事では「たまたまそういう条件のときに $X^2 + 5Y^2$ と書ける」程度の説明となっており「なぜそのような法則が得られるか」という根拠がまったくわかりませんでした。

今日は「ガウスの種の理論」によってこの根拠を説明します。種の理論は「指標」という概念を用いて二次形式やイデアル類群を分類しようという試みです。

種の理論は，単に上記の法則の説明を与えるにとどまらず，もっと一般的に二次形式で表せる素数の条件についてザックザクと法則を導くことができます。魅力的なトピックです。

しかしながら，やや難解で抽象的な議論が続くことになります。私もずっと理解したいと思っていたのですが，難しくてこれまで理解することができませんでした。数日前にこの記事に書いた理解に到達できたという状況です。

抽象的な内容を理解しやすいよう，可能なかぎり具体的例を用いて考えていきたいと思います。後半にたくさん二次形式の例が登場します。いろいろ遊ぶことができますので，辛抱強く読んでもらえると嬉しいです。

2017-01-11

163とドカベン素数

数学素数整数論素数と２次体の整数論イデアル類群・類数オイラーの素数生成多項式

4 で割って 1 あまる素数は，すべて２つの平方数の和でかける

という事実は，非常に有名なのでご存知の方も多いかと思います。私のブログでもたびたび取り上げてきました。フェルマーが発見したので，フェルマーの二平方定理（あるいは，二平方和の定理）という名前が付いています。
tsujimotter.hatenablog.com

私の大好きな定理の一つで，見かけによらず非常に奥が深い定理です。そのため，人に話したくてたまらないわけですが，他人に説明しようとすると１つ面倒な問題が発生します。

この「4 で割って 1 あまる素数」という言い回しが，長くて言いづらいのです。この手の説明をしているといちいち「4 で割って 1 あまる素数が・・・」と言わなければならず，とてもまどろっこしいわけです。

「奇数（2 で割って 1 あまる数）」のような名前がついていれば便利なのに・・・。

この問題に対し，鯵坂もっちょさん（アジマティクスの著者）という方が，画期的な解決策を思いつきました。以下のスライドをご覧ください。

まだ「an+b型数」で消耗してるの？ from ajisaka motcho

www.slideshare.net

簡単に説明すると， $4$ で割ったあまりを「春夏秋冬」に対応づけるのです。 $4$ で割って $1$ あまる素数は「夏素数」と呼ぶことにします。

この方法を用いると，先の定理は以下のように簡潔に表せます。

夏素数は，すべて２つの平方数の和でかける

これなら「あれ？４で割っていくつあまるんだっけ？」と考えなくても済みますね。

便利。

さて今日は，もっちょさんの手法をさらに発展させて，163 で割ったあまりの法則について考えてみたいと思います。

2017-01-06

2017は非正則素数

数学素数イデアル類群・類数

今年は西暦 2017 年ですが，2017 は素数ということで各所で盛り上がったことと思います。

実は，2017は単に素数なだけではなく，非正則素数という重要な素数でもあるのです。今日はそのことを紹介します。

概要：

さっき発見したんですが 2017 は 123 番目の非正則素数なんですね！めでたい。調べてみると 2017 は ζ(-1203) の分子を割り切るので、こんな関係が成り立ちますね（A_Q(μ_2017) は円の 2017 分体のイデアル類群のp-部分、ωはタイヒミュラー指標）。 pic.twitter.com/wsQNpenQav
— tsujimotter ロマ数本好評発売中!! (@tsujimotter) 2017年1月5日