tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

日曜数学アドベントカレンダー初日:2341 はスーパープライム

この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2017 の 1 日目の記事です。

アドベントカレンダーの季節が始まりましたね!

2017年も「日曜数学アドベントカレンダー」は健在です!
adventar.org

嬉しいことに,既に投稿予定が全日埋まっております!これは嬉しいですね!みなさんの記事が投稿されるのを楽しみにしております!

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複素積分は整数論に使える?

ハッピーフィボナッチ!

今日は 11/23 で,フィボナッチ数の最初の4項 1, 1, 2, 3 が並ぶ日です。そのため,11/23 はフィボナッチの日と呼ばれ,親しまれているようです。

フィボナッチ数列は,

 \begin{align} F_n &= F_{n-1} + F_{n-2}\;\;\;\; (n \geqq 2), \\ F_0 &= 0, \\ F_1 &= 1 \end{align} \tag{1}

という漸化式で定義された非常に有名な数列です。「 F_n の一般項を求めよ」という問題はよく大学入試の難問として紹介されたりしますね。数学好きなら一度は計算したことがある問題ではないでしょうか。

今日は,このフィボナッチ数列の一般項のちょっぴり変わった求め方を紹介したいと思います。

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ヒルベルトの定理90とクンマー理論

「ヒルベルトの定理90」という有名な定理があります。

定理の名称は,ヒルベルトの有名な報文(Zahlbericht)での定理番号から

今日はこの定理について紹介します。

定理:ヒルベルトの定理90
 L/K を有限次ガロア拡大としたとき,
 H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0  \tag{1}

が成り立つ。

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クンマー理論

クンマー拡大についての記事を準備しているうちに,いくぶん理解が進んできました。
tsujimotter.hatenablog.com

今日は,本題の「クロネッカー・ウェーバーの定理」から離れて「クンマー理論」について紹介します。クンマー理論については,しばらく前からずっと理解したいと思っていたものでしたので,ちょうどよい機会だと思いました。

特に,クンマー理論の主定理の理解を目指しましょう。

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クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ(その2):クンマー拡大

ご無沙汰しています。tsujimotterです。

久しぶりに「クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ」シリーズの続きを書きたいと思います。
tsujimotter.hatenablog.com

今日の主役は クンマー拡大 です。クンマー拡大とは,「巡回拡大」が「ベキ根の添加」によってかけるような拡大のことです。このような拡大のときは,いろいろと都合がよい性質があるのです。

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コーツ・ワイルズの定理(のあらすじ)

 7/19から7/28の計9日間,Iwasawa2017という国際研究集会が東京大学にて開催されました.岩澤理論における世界的スーパースターが一堂に会し活発な議論が行われました.

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 実はtsujimotterもこっそり参加しておりました.感想やレポートはまたいずれ書きたいと思いますが,今日は別のお話をしたいと思います.

 今日は,Iwasawa2017の講演者の一人であるジョン・コーツ先生*1の結果の中で,私のお気に入りの定理「コーツ・ワイルズの定理」についてご紹介したいと思います.

*1:ジョン・コーツ先生は,初日から参加されていて,講演だけでなくオープニングトークや座長などもされていました.私は遠くから眺めたり会場内ですれ違うだけで,声をかけることはできませんでした・・・.

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