tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

昨日話しておきたかった数学豆知識

数学 素数 イデアル類群・類数

「tsujimotterのノートブック」では、明日話しておきたい数学豆知識アドベントカレンダーという企画をやったことがあります。
adventar.org

この話を覚えておけば、明日は職場で大人気だぜ（？）、という数学豆知識を紹介する企画でした。


今日は、その逆で、

昨日知っておけばヒーローになれたかもしれない（？）

というお話を紹介したいと思います（いったい何の役に立つのか）。

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岩澤主予想

数学 岩澤理論 イデアル類群・類数 ゼータ関数

tsujimotterのノートブックでは，これまで２回にわたって，岩澤理論の３本柱のうちの２つ「岩澤類数公式」「p進L関数」を紹介してきました。

今日は，３本柱の最後１つである

「岩澤主予想」

について紹介したいと思います。

参考記事（こちらの記事の知識を前提とします）
tsujimotter.hatenablog.com
tsujimotter.hatenablog.com

岩澤主予想は「予想」と呼ばれていますが，既に証明された定理です。したがって，本来は「定理」と呼ぶべきものですが，一般には「岩澤主予想」という呼び名で定着されていますので，本記事でもその呼び方でいきたいと思います。英語だと "Iwasawa Main Conjecture" で，"IMC" と略されることもあります。

岩澤主予想は現在ではかなり一般化されていますが，本記事ではこれまでの記事と同様「イデアル類群の岩澤理論」の範疇に留めたいと思います。また，この記事では「円分 \newcommand{\zp}{\mathbb{Z}_p} \zp 拡大」における岩澤主予想に限定したお話となります。それでも結構難しいのですが，頑張ってついてきてもらえると嬉しいです。

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日曜数学アドベントカレンダー初日：2341 はスーパープライム

アドベントカレンダー 数学 素数 自由研究・独自研究

この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2017 の 1 日目の記事です。

アドベントカレンダーの季節が始まりましたね！

2017年も「日曜数学アドベントカレンダー」は健在です！
adventar.org

嬉しいことに，既に投稿予定が全日埋まっております！これは嬉しいですね！みなさんの記事が投稿されるのを楽しみにしております！

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複素積分は整数論に使える？

整数論 数学 積分

ハッピーフィボナッチ！

今日は 11/23 で，フィボナッチ数の最初の４項 1, 1, 2, 3 が並ぶ日です。そのため，11/23 はフィボナッチの日と呼ばれ，親しまれているようです。

フィボナッチ数列は，

\begin{align} F_n &= F_{n-1} + F_{n-2}\;\;\;\; (n \geqq 2), \\ F_0 &= 0, \\ F_1 &= 1 \end{align} \tag{1}

という漸化式で定義された非常に有名な数列です。「 F_n の一般項を求めよ」という問題はよく大学入試の難問として紹介されたりしますね。数学好きなら一度は計算したことがある問題ではないでしょうか。

今日は，このフィボナッチ数列の一般項のちょっぴり変わった求め方を紹介したいと思います。

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ヒルベルトの定理90とクンマー理論

数学 整数論 クンマー 群コホモロジー・ガロアコホモロジー

「ヒルベルトの定理90」という有名な定理があります。

定理の名称は，ヒルベルトの有名な報文（Zahlbericht）での定理番号から

今日はこの定理について紹介します。

定理：ヒルベルトの定理90
L/K を有限次ガロア拡大としたとき，
H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0 \tag{1}

が成り立つ。

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クンマー理論

数学 整数論 クンマー

クンマー拡大についての記事を準備しているうちに，いくぶん理解が進んできました。
tsujimotter.hatenablog.com

今日は，本題の「クロネッカー・ウェーバーの定理」から離れて「クンマー理論」について紹介します。クンマー理論については，しばらく前からずっと理解したいと思っていたものでしたので，ちょうどよい機会だと思いました。

特に，クンマー理論の主定理の理解を目指しましょう。

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