2017年の2月ごろに「ゼータ関数 強化月間」と題して、ゼータ関数に関する記事を書いていたのを覚えている方はいますでしょうか。そのとき投稿できたのは結局2件だけでしたが、実はもう一つ温めていたテーマがありました。それは
についてです。2月の記事のひとつ「ゼータ関数の行列式表示」は、今回のテーマのために用意された布石だったのですが、一年越しでようやく回収できそうです。
合同ゼータ関数の魅力の一つは リーマン予想が解決している ことです。一般に、ゼータ関数に対しては、リーマン予想を考えることができます *1。リーマン・ゼータ関数におけるリーマン予想は有名な未解決問題ですが、ゼータ関数によってはリーマン予想が解決されているものもあります。合同ゼータ関数が、まさにその代表例です*2。
私が合同ゼータ関数に興味をもったポイントは、もう一つあります。それは、合同ゼータ関数の証明に エタール・コホモロジー が用いられるという点です。20世紀に入ってグロタンディークらの数学者によって、数論の問題に対して、幾何的な道具を適用する「数論幾何」が発明されました。合同ゼータ関数のリーマン予想の証明は、数論幾何の最初の成功例といってよい成果だと言われています。
ところで、数論の問題にエタール・コホモロジーが使えるということはどういうことか、という疑問はみなさんも気になることと思います。私にとっても長らく疑問でした *3 。最近、ようやくその疑問に答えられそうな気がしてきました。しかも、私が想像していたよりもずっと直接的に使うことができます。その点が非常に面白かったので、私の理解の確認も兼ねて、ぜひみなさんに紹介したいと思ったのでした。
というわけで、今日のテーマは、
合同ゼータのリーマン予想が証明できるのはなぜか?
としたいと思います。
ただし、今回紹介したい内容は非常に高度なものです。前提とする知識は多岐にわたっており、私自身も基礎的な部分はまったく理解できていないに等しいです。今回の記事の目的は「証明の雰囲気を理解したい」という程度の内容で、tsujimotter が面白いと思う部分ができるだけ伝わるように、ポイントを絞って書きたいと思います。
本記事は、tsujimotter が勉強中のトピックを扱っており、完全には理解していないまま書いていることを白状いたします。そのため、ところどころ誤りを含んでいる可能性があり、内容の保証はできません。この記事の内容を正確に理解したい方は、ぜひ専門書を手に取ることを強くお勧めします。
*1:リーマン予想がないようなゼータ関数もあるみたいですが
*2:もう一つ、セルバーグ・ゼータというものもあって、こちらのリーマン予想も証明されています。
*3:一般向けの数学の啓蒙書では、お話だけは出てくることが多いですが、具体的にどのように解決したかに触れているものは少ないですね。