2018-09-19

セルマー群と2-descent法

$K$ を代数体として $K$ 上定義された楕円曲線の $K$ -有理点の群をモーデル・ヴェイユ群 $E(K)$ といいます。モーデル・ヴェイユの定理によって、 $E(K)$ が有限生成であることが示されていますが、その自由部分の生成元の個数、すなわちランクを決定するのは一筋縄ではありません。

今日は、セルマー群という道具を使ってランクを計算するための 2-descent法を私の理解できた範囲で紹介します。なかなか難しい内容なので、私の理解もまだ十分ではありません。誤りがあった際は、ご指摘頂けると嬉しいです。

2018-09-14

Knightの問題

数学整数論楕円曲線

2021.04.22 お知らせ：こちらの記事につきまして、本質的な内容の誤りがありましたので修正させていただきました。元の記事の記述を赤字で残しつつ、訂正した個所を青字で記しております。以前のバージョンの記事をご覧になったことにより、誤解を与えてしまった方が居たとしたら申し訳ありません。今一度内容のご確認をいただければ幸いです。また、ご指摘いただきました、Hisayasu Nakao様には感謝申し上げます。

今日は Knightの問題を紹介します。Knightの問題は、ぱっと見はただの初等的な整数問題に見えるのですが、実は楕円曲線と関連する面白い問題です。

2018-06-19

不思議な法則

数学素数二次形式

ここに二つの2次無理数があります。

$\displaystyle \alpha_1 = \sqrt{-5}, \;\; \alpha_2 = \frac{1+\sqrt{-5}}{2}$

$\alpha_1, \alpha_2$ は、どちらも判別式が $D = -20$ となる2次無理数となっています。

$\alpha$ が2次無理数であるとは、 $\alpha$ が既約な2次方程式

$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$

の解であるということです。このとき、 $D(\alpha) = b^2 - 4ac$ を $\alpha$ の判別式と言います。判別式が負であるような2次無理数を虚2次無理数と言います。今回は虚2次無理数を扱います。

2018-06-11

モジュラー曲線(2)：合同部分群とモジュラー方程式

モジュラー曲線数学

今日は、モジュラー曲線の話の続きを書きます。前回の記事では、フルモジュラー群 $\Gamma$ の定めるモジュラー曲線 $X(1)$ を考えましたが、今回は合同部分群に対応するものを考えたいと思います。

tsujimotterは、この合同部分群の定めるモジュラー曲線の話がしたくてこのシリーズを書き始めました。かなり難しいテーマだとは思いますが、面白い内容だと思いますので、よろしければぜひご覧ください。

諸注意：
今回の記事は、著者のtsujimotterが最近勉強したばかりのトピックです。とても面白い内容で、話したいという気持ちが抑えられなくなって本記事を書いています。
一方で、まだ理解していないことだらけで、ところどころ自信がありません。誤り等が含まれる可能性もありますが、その際はどうかご容赦ください。

2018-06-07

モジュラー曲線(1)：モジュラー曲線の導入

モジュラー曲線数学

今日から３回にわたってモジュラー曲線をテーマとしたお話をしたいと思います。「モジュラー曲線？ああ、あれね」といった具合に、頭の中でイメージできるようになることを目標としたいと思います。

以前から気になっていたトピックなのですが、先日日曜数学仲間の方と一緒に計算してみて、ようやく理解した気になれました。tsujimotterにとってもホットなトピックで、ぜひ自分の言葉で記事にまとめたいと思ったのがこの記事の動機です。

まずは基本的なモジュラー曲線 $X(1)$ について紹介します。実は、次の記事で $X_0(N), X_1(N)$ という、より高度なモジュラー曲線について紹介したいと思っています。最終的に話したいのは、 $X_0(N), X_1(N)$ の方なのですが、今回はそのための準備の回と位置付けています。