数論の勉強をしていく中で、スキーム理論の言葉で書かれた文章をたびたび見かけるようになり、スキームの基礎的な事項について理解したいと思うようになりました。
代数幾何学の標準的な(?)教科書であるハーツホーン [文献1] などの本を読んで、基本的な部分についてはある程度理解してきた気がしているのですが、やはり自分の文章でまとめてみないとわかった気がしません。そこで、今まで理解した部分をブログでまとめてみようと思いました。
そこで今日は、スキーム理論の基本である「アフィンスキーム」について、解説を試みたいと思います。私の理解向上のためというのが目的なので、あくまで自分のために文章化し、それを人にも見てもらえるような場所に置いておくという程度のスタンスで書いています。「みんなにスキームについてわかりやすく教えてやるぜ」というつもりはまったくありません。勘違いしている記述もあると思っています。おかしなところがあれば(こっそりと*1)ご指摘いただければと思います。
「代数幾何学」という、図形を代数的に取り扱う学問があります。代数幾何的な手法を、数論的な対象に対してもより広く適用できるようにするためにスキームが導入されたという話を聞いたことがあります。スキームの発明者は、あの グロタンディーク だそうで、グロタンディークらが発展させたのが数論的な対象を幾何的な道具を使って理解する数論幾何という一分野です。
今回の記事では、①アフィンスキームを定義すること、②アフィンスキームを用いた整数論の見え方について紹介すること、を目的としたいと思います。
とはいえ、そもそもアフィンスキームは、定義するだけでも大変なものです。そこで、ブログ記事を3部構成に分けて、以下のような流れで順を追って説明していきたいと思います。
第1部(本記事):
1. 代数幾何の基本
2. 環のスペクトル
3. ザリスキー位相
第2部(5/7公開予定):
4. 構造層
5. アフィンスキームの定義
第3部(5/8公開予定):
6. アフィンスキームの射
7. アフィンスキームの射の具体例
8. まとめ
まずアフィンスキームの定義には、環のスペクトルという「環の素イデアルだけで構成された空間」を考える必要があります。一方で、初学者である私の率直な感想としては、なぜそんなものを考えるのかよくわかりませんでした。
そこで第1部では、代数幾何学の基本的なところを触れつつ、流れをざっと追うことで、なぜ環のスペクトルを考えるのかについて考察したいと思います。
その後、第1部の後半と第2部では、アフィンスキームの定義に必要な2つの概念「ザリスキー位相」「構造層」について説明します。これでようやくアフィンスキームが定義できるようになります。
第3部では、アフィンスキームの例をいくつか出した上で、アフィンスキームの間の射について触れたいと思います。これによって、アフィンスキームの言葉を使って、これまでブログでも扱ってきた整数論のいくつかの問題を、少し新しい見方で見ることができるという例を紹介したいと思います。
なお、一連の記事では、可換環と言ったら単位的可換環(単位元 1 を持つ可換環)を考えます。
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