2019-12-19

指数層系列(1)：指数関数の性質から得られる短完全列

数学解析学指数層系列層

今日の記事は３回に渡るシリーズ記事の第１回です。シリーズを通して、複素数の変数を持つ指数関数

$\displaystyle \exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \left(= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \right) \tag{1}$

に関連する「指数層系列」と呼ばれる概念について紹介したいと思います。

指数層系列シリーズの記事は、こちらのタグから読むことができます：
tsujimotter.hatenablog.com

指数層系列は、層の間の準同型がなす完全列です。その完全列が成立する背景には、指数関数の持つ素朴な３つの性質（指数法則・対数関数・周期性）があります。高校のときに習った指数関数が、層という高度な概念に繋がっていくというのはとても興味を引き立てるものがあります。

最終的には指数層系列まで行きたいのですが、今回はその前の準備段階として、指数関数の性質から導ける短完全列を２つほど紹介したいと思います。

記号の定義と前提知識
複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ と表し、0でない複素数全体の集合を $\mathbb{C}^{\times}$ と表します。

また、 $\mathbb{C}$ の任意の開集合 $U$ に対し、 $U$ 上の正則関数全体の集合を $\mathcal{O}(U)$ とし、 $U$ 上の「至るところ 0 でない」正則関数全体の集合を $\mathcal{O}(U)^\times$ とします。

また、今回の記事では、正則関数や対数関数の多価性についての知識を前提とします。自信がない方はこちらの記事を読んでいただけると嬉しいです。
tsujimotter.hatenablog.com

2019-12-05

ガロア表現から作るいろいろなゼータ関数

数学ガロア表現ゼータ関数楕円曲線保型形式

ゼータ Advent Calendar 2019 の5日目の記事です。

世の中には、色々なゼータ関数があります。

・リーマンゼータ関数
・ディリクレゼータ関数
・ハッセ・ヴェイユゼータ関数
・アルティンゼータ関数
・合同ゼータ関数
・セルバーグゼータ関数

tsujimotterのノートブックでもこれまでいくつかのゼータ関数を取り扱ってきました。その中の多くは、実は「ガロア表現」と呼ばれるものから作ることができます。そういうお話をしたいと思います。今日の記事では、上のリストのうち、上から４つが登場します。

今回の記事は以前から温めていた内容なのですが、マスパーティというイベントの「ロマンティック数学ナイトプライム@ゼータ」という企画で、ゼータ熱が再燃しました。その後、ゼータアドベントカレンダーが企画されたことで「このタイミングで公開しないでいつ公開するんだ」と思い公開に至ったという経緯です。

ロマ数プライムゼータは、次のURLから見れますので、お時間のあるときにぜひみてください。

Part 3: 数学の楽しみ方の見本市「マスパーティ」（10/20 10:45 ～ 19:30）
https://www.youtube.com/watch?v=75dVmSWxXeE&t=17025s

内容はとても難しいですが、ガロア表現からゼータ関数がバンバンできあがる様子が楽しい記事になったと思います。よろしければお付き合いください。

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注意：
前回同様、今回の内容も非常に難しい内容となっております。
tsujimotterがまさに勉強中の「理解の最前線」を書いている記事となっていますので、内容も誤り等含んでいる可能性があります。

そのため、勉強する際は、私の記述をうのみにしないようお願いします。

なお、今回の記事は以下の伊藤先生のPDF「コホモロジー論とモチーフ」
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/hokudai200609.pdf

や、整数論サマースクール「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html

の内容を参考にしています。

2019-12-04

ガロア表現の基本的なところ（準備編）

数学整数論ガロア表現

明日、ガロア表現を使った記事を書きたいと思うのですが、その内容を理解するための準備編として、今日はガロア表現の基本的なところをまとめたいと思います。

注意：
「基本的なところ」と銘打っておきながら申し訳ないのですが、今回の内容は非常に難しい内容となっております。
tsujimotterがまさに勉強中の「理解の最前線」を書いている記事となっていますので、内容も誤り等含んでいる可能性があります。

そのため、勉強する際は、私の記述をうのみにしないようお願いします。

なお、今回の記事は以下の伊藤先生のPDF「コホモロジー論とモチーフ」
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/hokudai200609.pdf

や、整数論サマースクール「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html

の内容を参考にしています。

ガロア表現とは、一言でいうなら「ガロア群の行列による表現」です。その言葉の意味するところについてまずはざっくりしたイメージを説明します。

あるベクトル空間 $V$ を考えて、その元 $v \in V$ がガロア群 $G$ によって $v'$ に動かされるとします。

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この $v$ から $v'$ への移動がもし「線形変換」によって表せるとき、つまり行列によって表せるとき、 $G$ を行列そのものだと思うことができますね。これが要するにガロア表現です。

以下では、より詳しく説明していきたいと思います。

2019-12-04

iのi乗はそこに至る経路で決まる

数学解析学

みなさん、 $i^i$ がどんな値になるか考えたことはありますか？

「複素数のべき乗ってなんだよ」と思う方もいるかもしれません。素朴に「 $i$ を $i$ 回かける」なんて考えたら、意味がわからないですよね。

この問題について一度考えたことがある方の中には「 $e^{-\pi/2}$ だよ」と答える方もいるかもしれません。たしかに、 $i^i$ としては $e^{-\pi/2}$ を取ることもあります。しかしながら、本当に $e^{-\pi/2}$ だと言い切ってしまってよいでしょうか？

一般に、一つの $x$ に対して $f(x)$ が複数の値をとるような関数のことを多価関数といいます。

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複素数を変数に持つような関数を考えるにあたっては、このような性質を慎重に検討する必要があります。実際、 $i^i$ を議論する際は、こうした多価関数の値として考える必要があり、単純に $e^{-\pi/2}$ だとは言い切れなくなってしまうのです。

最近tsujimotterは、こうした多価関数の基本的な性質について勉強していまして、そのノートを以下に公開していました。本記事では、そのノートの内容を丁寧にまとめてみたいと思います。

最近、複素関数の多価性について勉強したので「iのi乗」についてまとめてみました。（下書きなので後で清書する） pic.twitter.com/z3v7zxWRbj
— tsujimotter (@tsujimotter) 2019年11月22日

前日に公開した「超幾何級数に関する記事」でも、今回の結論の一つを使っています。前日の記事でわからなかった方は、今回の記事を参考にしていただけると幸いです。
tsujimotter.hatenablog.com

2019-12-01

超幾何関数の積分表示と接続問題

アドベントカレンダー数学解析学微分方程式積分

日曜数学 Advent Calendar 2019 の1日目の記事です。

アドベントカレンダーの季節がやってまいりました。今年も日曜数学アドベントカレンダーを立てまして、この記事はその1日目の記事となっています。
adventar.org

実は、日曜数学アドベントカレンダーは、今年で 5年目になります。なかなか続いていますね。

今年も既に22件が埋まっていまして、たくさんの方が思い思いの数学について熱く語ってくださいます。とても楽しみです。

トップバッターのこの記事は超幾何関数をテーマにお話したいと思います。

もともとこのtsujimotterのノートブックは、私の日曜数学の成果を発表する場として書いていて、今勉強している最前線をその熱が冷めないうちに書くのが特徴です。その意味で、今回の話は私がまさに今勉強中の内容であり、tsujimotterのノートブックらしい記事かと思っています。

ちょっと難しい内容になるかと思いますが（そしていつも通りとても文章が長いのですが）、よろしければお付き合いいただけますと幸いです。

2019-11-11

レピュニットと円分体の分解法則

数学整数論日曜数学素数類体論レピュニット

本日 11/11 はレピュニット（1が続く数）の日ですね。毎年この日が来るとtsujimotterはこちらの記事をTwitterに投稿しています。
tsujimotter.hatenablog.com

この日は数学が好きな人たちの間でも、レピュニット関連の話題がたくさん投稿されるのですが、特に鯵坂もっちょさんのこちらの投稿が気になりました。

11/11ですが pic.twitter.com/6MATw4sGfZ
— 鯵坂もっちょ🐟 (@motcho_tw) 2019年11月11日

レピュニットは

$\underbrace{111\ldots111}_{k \text{ times}}$

とかける数のことですが

$F_{k}(X) = X^{k-1} + X^{k-2} + \cdots + X^2 + X + 1$

という多項式を考えて、 $X = 10$ を代入したもの、だと考えてもいいわけです。

このように考えると、多項式 $F_k(X)$ の既約分解を考えることで、レピュニットの因数分解を得ることができます。たとえば

$F_4(X) = X^3 + X^2 + X + 1 = (X + 1)(X^2 + 1)$

という多項式の既約分解を考えることで、 $X = 10$ と代入してレピュニットの因数分解

$1111 = F_4(10) = 11 \cdot 101$

が得られるというわけですね。

これは面白い見方だと思いました。

一方で、 $F_7(X) = X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ を考えると、これはよく知られているように $\mathbb{Q}$ 上既約な多項式です。たとえば、証明はこちらに載っています。
biteki-math.hatenablog.com

一般に、素数を $q$ として、 $F_q(X) = X^{q-1} + X^{q-2} + \cdots + X^2 + X + 1$ は既約であることが示せます。

ところで、この $F_7(X)$ に $X = 10$ を代入したレピュニットは、素数にはならず、以下のように素因数分解されます。

$F_7(10) = 1111111 = 239 \times 4649$

すなわち、 $F_k(X)$ が既約だからといって、 $F_k(10)$ が素数であるとは限らないというわけですね。

それはたしかにそうなのですが、もう少し踏み込んだ議論ができないかと思いました。そこでこんなツイートをしたわけです。

この見方は面白いな。円分多項式の既約性と対応づけられないかなと思って考えてました。

一方で、たとえばX^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1はQ上既約だけど、1111111 = 239 × 4649 と割り切れてしまう。上手い解釈はできないかな。
— tsujimotter ロマ数本好評発売中!! (@tsujimotter) 2019年11月11日

このツイートに対して、梅崎さんと山田さんのお二方から、円分体の分解法則と関連づけられそうだという情報をいただきました。今回は、それをまとめて見たいと思います。

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2019-10-09

等比数列の和と望遠鏡和

数学日曜数学

横山明日希さんのこのツイートを受けて、面白い（と僕が思った）計算法を考えたので紹介します。

僕が思いついたのはこれ。

1/32を一回借りてきて、

あとはぷよぷよの連鎖のように、
どんどん消えていくかんじ pic.twitter.com/r7gfPK3Jvk
— 横山明日希（9/28新作本発売！） (@asunokibou) October 9, 2019

考えたといっても、横山さんのツイートのリプライについている解法と考え方はほぼ同じです。

$\displaystyle \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

$\displaystyle \frac{1}{16} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$

$\displaystyle \frac{1}{32} = \frac{1}{16} - \frac{1}{32}$

と置き換えるのがポイントです。

計算するとこうなります。

$\require{cancel}\begin{align} &\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \\ &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{16}\right) + \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{32}\right) \\ &= 1 + \cancel{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)} + \cancel{\left( - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)} + \cancel{\left( - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right)} + \cancel{\left(- \frac{1}{16} + \frac{1}{16}\right)} - \frac{1}{32} \\ & = 1 - \frac{1}{32} \\ & = \frac{31}{32}\end{align}$

間の項がバサバサと打ち消しあうようにするおなじみの計算を、INTEGERSのせきゅーんさんは「望遠鏡和」と呼んでいます。
integers.hatenablog.com

一般の等比数列の和の公式も、望遠鏡和で計算できることがわかりましたので、最後にやってみましょう。

ポイントは

$\displaystyle r^k = \frac{r^k}{1-r} - \frac{r^{k+1}}{1-r}$

という置き換えです。

$\require{cancel}\begin{align} &1 + r + r^2 + \cdots + r^{n} \\ &= \left(\frac{1}{1-r} - \frac{r}{1-r}\right) + \left(\frac{r}{1-r} - \frac{r^2}{1-r}\right) + \left(\frac{r^2}{1-r} - \frac{r^3}{1-r}\right) + \cdots + \left(\frac{r^n}{1-r} - \frac{r^{n+1}}{1-r}\right) \\ &= \frac{1}{1-r} + \cancel{\left(- \frac{r}{1-r} + \frac{r}{1-r}\right)} + \cancel{\left( - \frac{r^2}{1-r} + \frac{r^2}{1-r}\right)} + \cdots + \cancel{\left(- \frac{r^n}{1-r} + \frac{r^{n}}{1-r}\right)} - \frac{r^{n+1}}{1-r} \\ & = \frac{1}{1-r} - \frac{r^{n+1}}{1-r} \\ & = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}\end{align}$