tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

整数論

原始根の数のかぞえかた

以前、第2回プログラマのための勉強会 というところで「時計の世界の整数論」という発表をしました。「時計の世界の整数論」は, が素数のときの 上での整数論についてまとめたものです。その中で以下の定理がありました。 図は, として におけるべき乗を…

FLTとクンマーとイデアル類群

2016年が始まりました。日曜数学者の tsujimotter は、今年も楽しく数学をしていきたいと思っています。どうぞよろしくおつきあいください。 というわけで、新年一発目の数学の話を。今日の目標は、以下の命題の一般的な証明方法についての解説です。 命題:…

「3の100乗を19で割ったあまりは?」を4通りの方法で計算する

この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015 の 8日目の記事です。(7日目:京大特色入試, コインの問題を解く | kinebuchitomo) ニコニコ動画の「数学」タグを検索するのが日課の日曜数学者 tsujimotter です。「数学」で検索すると、本当にいろいろな動画…

オイラーの五角数定理 と ヤコビの三重積

小学校の頃に算数で「おはじき」を並べる授業があったのを覚えているでしょうか。みなさんきっとやったことがあると思いますが,おはじきを正三角形の形に並べることができますね。最初は1個,次は3個,その次は6個,そして10個。10個では「ボウリン…

xx + 27yy 型の素数 と オイラーの五角数定理

これまでこのブログではという二次形式で表すことのできる素数に想いを巡らせてきました。 のときには,それぞれの二次形式で表すことができる素数の必要十分条件が完全に分かっています。このブログでも数回にわたって解説してきました。 一般に,「多くの…

二次体 Q(√-5) のイデアル類群と xx + 5yy 型の二次形式

関連記事: tsujimotter.hatenablog.com 「イデアル類群は,単項イデアル整域からどれだけ離れているかを測る "ものさし" である」 というような文章は,イデアル類群を簡単に説明するためによく用いられる解説ですが,こんな説明を聞いても「はぁ?何言って…

Z[√-5] のイデアルについて

二次体 上の整数環 を考えたときに,その代数的整数に対して「素因数分解の一意性は必ずしも保証されない」 という問題は,代数的整数論のイントロダクションとして重要なトピックだと思います。具体的には, のときには, という数が2通りに素因数分解され…

二次形式の類数を求めるプログラム

今回お話ししたいのは「正定値二次形式の判別式 に対して,類数 を計算する Ruby のプログラムを作った!」という話です。なのですが,この分野を知らない人にとっては上の文章はサッパリですね。「二次形式ってなに?」「判別式ってなに?」「類数って・・…

「基本領域ゲーム」を作った

保型形式の理論を勉強していると基本領域(Fundamental Domain)という概念が出てきます。これ非常に重要な概念だと思うのですが、専門書を読んでも何を書いてあるかサッパリ分からないのですよね。これ以上考えていても埒があかないので、図示してみようと…

続・691 に心惹かれる理由

前回:691 に心惹かれる理由 - tsujimotterのノートブック 前回の記事では、 691 という数が登場する、3つの不思議な定理について紹介しました。 前回紹介した定理たち: a. b. ゼータ関数 とベルヌーイ数 の分子に が現れる c. は非正則素数である( の類…

691 に心惹かれる理由

日曜数学者と名乗る前は「数のエンターテイナー」と名乗っていた tsujimotter です。久しく数のエンターテイナー成分がなかったので、ひさびさに「数についての雑学」をお話しようと思います。タイトルにある "691" という数は、単なる素数に見えるかもしれ…

「第2回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg 」で整数論の話をしてきました

ご無沙汰してます。お久しぶりのブログ更新です。表題の数学勉強会の準備に専念していて、ブログの方に手が回りませんでした。一ヶ月ぶりの記事は 2015年3月27日に開催された「プログラマのための数学勉強会」のレポート記事です。tsujimotter の発表テーマ…

6xx + xy + yy の形で表せる素数

昨日の記事の続きで「二平方定理」について調べている中で,興味深い定理を発見しました。今日は「どんな形をした素数が, の形に書けるか」についてのお話をご紹介します。

続・二平方定理 (オイラーの 6n+1 定理)

前回の記事: 平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く - tsujimotterのノートブック 昨日書いた「フェルマーの二平方定理」の話ですが,定理をもっと一般化できることに気づきました。ワクワクしながらこの記事を書いています。 昨日は「 型の素数は の形…

平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く

久しぶりに整数論の調べものをしていたら,思った以上に捗って理解が深まったので,さっそく記事にしてみました。約一年ぶりに「フェルマーの二平方定理」の記事の続きをお話ししたいと思います。 フェルマーの二平方定理 - tsujimotterのノートブック フェ…

ラマヌジャンの L 関数 と 二次のオイラー積

このところ暗号系の記事が続きましたが、今回は暗号とはまったくありません。この記事では、次のオイラー積を求めたいと思います。 左辺の級数は「ラマヌジャンの L関数*1」と呼ばれています。ラマヌジャンとはもちろん、インドが産んだ奇才、シュリニバーサ…

一次不定方程式と油分け算

またまた RSA 暗号の関連記事です。記事の中で「一次不定方程式」という概念が登場しましたので、その補足をしたいと思います。 一次不定方程式の整数解: を互いに素な整数としたとき,以下の方程式を満たすような整数解 が存在する. この一次不定方程式の…

オイラー関数についての補足

一昨日の RSA 暗号の記事で、オイラー関数 という関数が登場しました。暗号理論に限らず、整数論においてとても大事な関数となっていますので、ちょっと補足したいなと思いました。特に、関数の引数が「2つの素数の積」となる場合の説明をまったくしていな…

RSA暗号からの脱出

昨日、せっかく RSA の記事を書いたので、自分でも暗号を作ってみたくなりました。 というわけで、今日は RSA 暗号の問題です。単なる暗号では面白くないので、最近流行の「脱出ゲーム」っぽいテイストにしてみました。「四角に入る文字列」がわかった方は、…

RSA 暗号がようやく分かった気がしたのでまとめてみる

「RSA 暗号」を知ったのは私が大学の3年生の頃だったかと思います。学科の必修として「危機管理工学」という名の講義があって、そこで暗号理論を学んだのです。当時は、たいして数学を勉強していなかったこともあって、単位は習得したものの「なんだかよく…

美しい反例

若い数学者が、壇上へと静かに足を運んでいく。 「だれだあいつは」という声が、どこからともなく聞こえた気がした。 彼は壇上へ上がると、一呼吸置いて自分のノートを開いた。まだ一言も発していない。 彼は自分の名前さえ名乗らないままに、ゆっくりと、し…

ディリクレの算術級数定理の証明(4n+1型の場合)

これらの数は で割って 余る素数です。このような形の素数のことを「 型の素数」と呼びますが、果たしてそのような素数は無限に存在するのでしょうか。この問いに答えるのが「ディリクレの算術級数定理」です。 ディリクレの算術級数定理: を正の整数とし,…

独習ノート「素数と2次体の整数論」#3.5:単項イデアルの性質

《独習ノート:「素数と2次体の整数論」シリーズ》の補足回です。今回のテーマは「単項イデアルの性質」について。該当箇所は、第1章の 問題 1.12 です。本当は飛ばそうかと思ったのですが、あとのことも考えると書いておいた方が良さそうだと、思い直しま…

ディオファントスの数遊び

「ディオファントスの一生」って知っていますか? ディオファントスという古代の数学者の墓石に、彼の一生を示した「謎めいた文章」が書かれている、という話なのですが、これがよく読むと数学の問題になっているのです。NHK Eテレの2355という番組で、これ…

独習ノート「素数と2次体の整数論」#3:Z のイデアル (2/2)

今日は「 のイデアルは、常に単項イデアルである」を証明します。その過程で「割り算の原理」という非常に重要な定理が登場します。該当箇所は前回に引き続き「1.3 のイデアル」です。 今回の文章は、ちょっと長いかもしれません。なかなかすんなりとは行か…

独習ノート「素数と2次体の整数論」#2:Z のイデアル (1/2)

今回は「イデアル」の導入と定義について。教科書の該当箇所は「1.3 のイデアル」です。内容が濃いので、2回に分けてお話します。

独習ノート「素数と2次体の整数論」#1.5:集合の包含関係(補足)

今回は、《独習ノート:「素数と2次体の整数論」シリーズ》の補足回です。今回の内容は、教科書に該当する箇所はありません。明日以降の記事で「集合の包含関係」についての性質を使うので、この記事で先に触れておきたいと思います。

独習ノート「素数と2次体の整数論」#1:約数と倍数

前回からはじまった独習ノートシリーズです。テーマは「整数論」。今日は整数論で最も基本的な「1.2 約数と倍数」について学んでいきたいと思います。

独習ノート「素数と2次体の整数論」#0:動機

教科書を1つ決めて、それに沿って tsujimotter が勉強した過程をまとめていく連載シリーズです。 本シリーズの教科書はこちら。素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)作者: 青木昇,飯高茂,中村滋,岡部恒治,桑田孝泰出版社/メーカー: 共立出版発売日: 2…

セクシー素数

この記事は 明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー の 28 日目(!?)の記事です。( 27 日目:対数表に「素数」の表がついている?) アドベントカレンダーまさかの限界突破に、なんと遠藤 逸ノ城さんが続いてくれました!まさか、彼も対数表を…