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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

古代エジプトの掛け算

数学 代数学

みなさん 3×2 はどのように計算していますか?

九九を使って

3 × 2=6

と暗記しているかもしれません。

3 + 3 = 6

として単純に足し合わせてもいいですね。

13 × 15

のように2桁の場合はどうでしょう。
現代日本に住む私たちは、筆算などいろいろな方法を知っています。
(インド人なら2桁の掛け算は覚えていそうです。)


タイトルにもある古代エジプト人は、現代とは異なる、興味深い方法で掛け算を行っていました。
今回はその方法を紹介します。



古代エジプト人は、掛け算をすべて足し算に直して計算していました。

3 × 2 は簡単です。

3 × 2 = 3 + 3

とすればよいわけですから。


13 × 15のときはどうでしょう。

掛け算を足し算にするからといって、何も考えずにこんな計算をしていたら大変です。

13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13


古代エジプト人はもっと効率的な足し算の方法を用いていました。
それは次のような手順です。

まず、倍にする元の数 13 を使って

13 + 13 = 26

のように 26 を作ります。これは 13 × 2 に相当します。

次に、その 26 をさらに加えて

26 + 26 = 52

より 52 を作ります。この数は 13 × 4 に相当します。

同様に

52 + 52 = 104

より 104 を作ります。この数は 13 × 8 に相当します。

あとは、これらの数の和をとって

13 + 26 + 52 + 104 = 195

が求める答となるのです。
確かに、和の数はずいぶんと減りましたね。

なぜこんな方法でうまくいくかというと、

(13×1) + (13×2) + (13×4) + (13×8) = 13 × (1+2+4+8) = 13 × 15

が成り立つからです。
分配法則をうまく使っていることがわかりますね。

実際に計算するときは、次の図のような表を用いると簡便です。
f:id:tsujimotter:20140110212107p:plain

パピルスにもこのような表に相当するものが描かれており、古代エジプト人もこの方法を使っていたとされています。


今回はたまたま倍にしていったすべての数の和を用いましたので、違う例も紹介しましょう。

17 × 13

同様に表を作ります。
f:id:tsujimotter:20140110212132p:plain


今回の場合、かける数は 13 ですから

13 = 1 + 4 + 8

より、該当する行だけ足し合わせる必要があります。
表で、チェックマークがついた行が該当の行です。


ちなみに、古代エジプト人は積の交換法則を知っていたそうです。

17 × 13 = 13 × 17

のように、計算上の都合良いように積の順序を交換していたのです。


古代エジプト人の掛け算の計算方法は、現代からすると少々まどろっこしい方法かもしれません。
それでも確実で、興味深い方法ですよね。
桁数によらず同じ方法で計算できるのも魅力的です。


参考文献:
三浦伸夫 「NHKスペシャル知られざる大英博物館 古代エジプトの数学問題集を解いてみる」 NHK出版

NHKスペシャル「知られざる大英博物館」 古代エジプトの数学問題集を解いてみる

NHKスペシャル「知られざる大英博物館」 古代エジプトの数学問題集を解いてみる