ゼータ関数のオイラー積 - tsujimotterのノートブック

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図：レオンハルト・オイラー（1707 - 1783）

オイラー積とは

レオンハルト・オイラーといえば世界一美しい公式と呼ばれる「オイラーの公式」が有名ですが、私が一番好きなのは次のオイラー積と呼ばれる公式です。

オイラー積（完全版）

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \prod_{p;prime}\frac{1}{1-1/p^s}$
ただし、右辺の積記号はすべての素数の積を表す。

左辺が「1以上のすべての整数を使った和」となっており、右辺が「すべての素数を使った積」となっています。右辺が積の形をしているのでオイラー積と呼ばれます。
ポイントは「すべての整数」「すべての素数」を漏れなくだぶりなく使っている点で、まさに整数と素数をつなぐ架け橋になっているといえます。筆者はこのコンセプトが大好きです。

ところで、左辺の式は、 $s$ を引数と考えれば関数とみなせます。この関数は、ゼータ関数と呼ばれ次のように定義されます。

$\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$

ゼータ関数は有名なので名前ぐらいは聞いたことある人は多いかもしれません。

オイラーの功績によって、ゼータ関数とすべての素数が結びついたので、数学者の興味の対象である「素数」の性質を知るために、ゼータ関数が利用できるようになったというわけです。

実際、「リーマン予想」などの素数に関する未解決問題の多くにゼータ関数が深くかかわっており、数学研究者の注目の的になっているそうです。

本記事では、オイラー積の導出方法を考えていきましょう。

オイラー積の導出方法

まずは定義どおり式を展開します。

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{6^s}+\cdots$

右辺に登場したすべての整数を因数分解しておきます。

$\displaystyle = \frac{1}{(1)^s} + \frac{1}{(2)^s} + \frac{1}{(3)^s} + \frac{1}{(2^2)^s} + \frac{1}{(5)^s} + \frac{1}{(2\cdot 3)^s}+\cdots$

ここがポイントです。上の式は次のように素数ごとに因数分解できます。

$\displaystyle \begin{eqnarray} &=& \left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{2^{2s}}+\frac{1}{2^{3s}}+\cdots\right) \\ && \times \left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{3^{2s}}+\frac{1}{3^{3s}}+\cdots\right) \\ && \times \left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{5^{2s}}+\frac{1}{5^{3s}}+\cdots\right) \\ && \times \left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{7^{2s}}+\frac{1}{7^{3s}}+\cdots\right) \\ && \times \cdots \end{eqnarray}$

図で考えるとわかりやすいかもしれません。

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図のようなパターンで、1, 2, 3, 4, 5, 6, が必ず登場します。もちろんそれ以降の整数もすべて登場するわけです。

これにより次が得られました。

オイラー積（途中式）：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \prod_{p;prime}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots\right)$
ただし、右辺の積記号はすべての素数の積を表す。