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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

3n+1型の素数とか

今日は331ということで、331にまつわる小ネタを。

はじめに

4n+1の形で表せる素数はすべて平方数の和でただ一通りに表せる。
逆に平方数の和で表せる奇素数はすべて4n+1型である。

というのは、この記事で以前お話したことでした。

フェルマーの二平方定理 - tsujimotterのノートブック


今日は 3n+1型 の素数に対しても同じような性質があることを紹介しましょう。



3n+1型の素数

3n+1の形で表せる素数  pすべて次のような和の形でただ1通りに表せます。

定理:3n+1型 の素数  p は次のように和の形でただ1通りに表現できる。


 p=x^2 + 3y^2
ただし、 x,  y は互いに素な整数。

逆に、上記の形式で表せる素数は 3n+1型 または 3 となっています。


実例


実例を挙げましょう。

最も小さい 3n+1型素数 は 7 です。


 7 = 2^2 + 3\cdot 1^2


もちろん 331 も 3n+1型素数 です。


 331 = 16^2 + 3\cdot 5^2


ちなみにこんな巨大な数でもうまくいきますよ。


 33,333,331 = 3628^2 + 3 \cdot 2593^2

これだけ大きいと、カンマを付けないとよくわからなくなってしまいますね。


8n+1, 8n+3, 8n+7型の素数

4n+1型や3n+1型があるなら、ほかにもan+b型で似たようなことができるんじゃないの?と思った方、鋭いです。


次のような素数でも、平方数を使った和の形で表すことができるのです。

定理:8n+1型, または, 8n+3型 の素数  p は次のように和の形でただ1通りに表現できる。


 p=x^2 + 2y^2
ただし、 x,  y は互いに素な整数。

定理:8n+1型, または 8n+7型 の素数  p は次のように和の形でただ1通りに表現できる。


 p=x^2 - 2y^2
ただし、 x,  y は互いに素な整数。

例:

41 (8n+1型):


 41 = 3^2 + 2\cdot 4^2
 41 = 7^2 - 2\cdot 2^2

43 (8n+3型):


 41 = 5^2 + 2\cdot 3^2

31 (8n+7型):


 31 = 9^2 - 2\cdot 5^2

331 (8n+3型):


 331 = 13^2 + 2\cdot 9^2

331は 8n+3型でもあったのですね。


素数チェッカー

「え、たまたまうまいこといくような素数を選んだだけじゃないかって?」

そんな疑りぶかいあなたは、ぜひ自分で計算してみてください。新たな発見があるかもしれません。


とはいえ、今回の記事のような素数を自分で探すのはなかなか大変ですよね。計算練習になるかもしれませんが。


そんなとき、ある整数を与えたら、それが素数かどうか判定してくれて、なおかつ 3n+1 や 8n+1 のときにうまいこと平方和で分割してくれるようなアプリがあったら便利ですよね。



そんな便利なアプリないかなー・・・ないかなー・・・(チラッ)



なんと、あったじゃないですかー!

素数チェッカ

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やだなー、もー、早く言ってくださいよ。



スクリーンショットなんかとっちゃいましたよー。


f:id:tsujimotter:20140331115957p:plain:w240

「+1」, 「-1」 という便利キーもついていて、次の数が素数かどうかも確認できちゃいますね。


これで、317の次の素数が331であることがすぐにわかってしまいます。

便利ですね~。



・・・・



・・・・



ということで、私が作ったわけじゃないですが、つい宣伝してしまいました。
よろしかったら遊んでみてくださいな。


それではこの辺で。