循環小数問題1/12377の小数点以下6193桁目は何か?(問題編) - tsujimotterのノートブック
1/12377の小数点以下6193桁目は何か?(解答編) - tsujimotterのノートブック第1回:循環小数(1): フェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック
解説編
第2回:循環小数(2): Midyの定理(前編) - tsujimotterのノートブック
第3回:循環小数(3): Midyの定理(後編) - tsujimotterのノートブック
第4回:循環小数(4): 平方剰余の相互法則 - tsujimotterのノートブック
本記事は、循環小数問題の解説編として書いています。
第2回、第3回と Midyの定理と呼ばれる定理を紹介します。
第2回の本記事では Midyの定理(前編)となっています。前編のこの記事では 《Midyの定理》 の証明を中心に、第3回では 《Midyの定理》 を使って循環小数の後半の値を推定する方法を紹介します。
《Midyの定理》 とは
循環節を半分に分けることを考えます。
1/7 の場合、
となりますが、"142" と "857" の二つにわけて、それぞれの数を a, b とおきます。
次に、それらの和をとります。するとどうでしょう。
なんと、9 が並んでしまいました!これは驚きです。
もっと驚いたことに、これは p が素数で、かつ、循環節の長さが偶数のときには
になるのです。
これが 《Midyの定理》 です。以下にまとめましょう。
《定理2(Midyの定理 [Midy, 1836])》
p を 2, 5 以外の素数とし、循環小数 1/p の循環節の長さが偶数になるとき、その循環節を前後で2分割した数の和は必ず 9999.....999 の形をした数となる。
ほかの数で試してみても同じです。
a = 0
b = 9
a + b = 0 + 9 = 9
1/11 の場合は循環節はずいぶん短くなりますが、たしかに成り立っています。
a = 05882352
b = 94117647
a + b = 05882352 + 94117647 = 99999999
こんなに長くても、ちゃんと成り立っていることが確認できました。
証明の概略
証明はちょっと長いので、見通しを立てるためにアウトラインを説明しましょう。
まず、問題を定式化します。 が 個並ぶ数は 10 のべき乗を使って次のように表現できます。
が と一致することを示すためには、次の 2点を示せばよいでしょう。
- が で割り切れる
- が より小さい
以下、1. 2. の順に証明を進めていきます。
証明
1. が で割り切れる
を示す。
の循環節の長さを とし、循環節の前半を , 後半を とすると、 は次のようにかける。
これを変形していく。
よって、
まず、右辺は の倍数である。したがって、左辺も の倍数であるが、 は p の倍数ではない。なぜなら、 が p の倍数であるとすると、
となってしまい、これでは循環節の長さが となってしまう。これは循環節が であるという最初の前提に矛盾する。
一方、左辺は の倍数である。よって、 と のいずれかに、 の約数が振り分けられるはずである。 は素数であり、 は 素数 を約数に持たないから、 の約数はすべて が持つことになる。
したがって、「1. が で割り切れる」が示された。
2. が より小さい
を示す。
1. の証明から、 は の倍数であることが得られたので、整数 を用いて次のようにおける。
ここで、, の定義から、取り得る最大値は、
であるから、
一方で、この最大値を取った場合、循環小数は
となってしまう。これは が 1より小さいことに矛盾する。
よって、a, b の取りうる範囲は、この最大値を含まないことがわかるから、結果的に、
すなわち、「2. が より小さい」が示された。
以上 1. 2. より、 が示された。
まとめ
今回は循環小数の持つ
という面白い性質を紹介しました。この性質は、Midyさんが証明したので、《Midyの定理》 と呼ばれているのでした。
次回は後編として、《Midyの定理》を使った推定法を紹介します。
参考文献
証明は、次の記事の内容を参考にしました。
循環小数の一性質 - Midy の定理とその一般化 :
http://www.sci.u-toyama.ac.jp/topics/files/topics16.pdf