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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

循環小数(3): Midyの定理(後編)

数学 整数論 循環小数

循環小数問題
1/12377の小数点以下6193桁目は何か?(問題編) - tsujimotterのノートブック
1/12377の小数点以下6193桁目は何か?(解答編) - tsujimotterのノートブック


解説編
第1回:循環小数(1): フェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック
第2回:循環小数(2): Midyの定理(前編) - tsujimotterのノートブック
第3回:循環小数(3): Midyの定理(後編) - tsujimotterのノートブック
第4回:循環小数(4): 平方剰余の相互法則 - tsujimotterのノートブック


本記事は、循環小数問題の解説編として書いています。


第3回は Midyの定理(後編)として、前回示したMidyの定理を使って循環小数の後半の値を推定する方法を紹介します。



Midy の定理の復習とその応用

《定理2(Midyの定理 [Midy, 1836])》
p を 2, 5 以外の素数とし、循環小数 1/p の循環節の長さが偶数になるとき、その循環節を前後で2分割した数の和は必ず 9999.....999 の形をした数となる。


あとで使いやすいようにするために、次の等価な表現に変えておきましょう。

《Midyの定理の言い換え》
 p を 2, 5 以外の素数とし、循環小数  1/p の小数点以下  k 桁目を  a_k 、循環節の長さを  e とする。
 e が偶数のとき、次が成り立つ。


 a_{e/2+k} + a_k = 9


実はこの定理は、循環小数の後半の桁の値を推測するのに使える のです。

たとえば、1/17の 小数点以下第 9 桁 の値は、1/17 の循環節の長さが 16 であることを知ってさえいれば容易にわかります。

やってみましょう。

1/17 の場合

 1/17 の循環節の長さ が 16 であると仮定します。このとき、Midyの定理の言いかえを用いると、


 a_{16/2+1} + a_1 = 9

ここで  a_1 は、計算するまでもなく 0 とわかりますから、逆に  a_{16/2+1} 、すなわち小数点以下 9 桁目は 9 と即座にわかるのです。


なかなか面白いでしょう。

循環節の長さと (p+1)/2 桁目の値の推定

こうなってくると、任意の素数  p おける  1/p の循環節の長さがどうなるか気になってきますね。


正確にいうと、今回の話に限れば、循環節の長さがわからなくても「循環節の長さが  (p-1)/2 の約数になっているかどうか」がわかればよいのです。


図を見ながら解説しましょう。


f:id:tsujimotter:20140405224358p:plain

循環節の長さが  (p-1)/2 の約数になっているときは、 (p-1)/2 で循環しますから、 \frac{(p-1)}{2}+1=\frac{p+1}{2} の地点は 小数点以下 1桁目 が登場するはずです。したがって、素数 p が 2桁以上の場合は、必ず 0 になります。

一方で、循環節の長さが  (p-1)/2 の約数でないときは、 (p-1)/2 桁で循環しません。しかしながら、 (p-1)/2 の地点では(何巡目かはわかりませんが)循環節の前半の終わりがきます。したがって、 \frac{(p-1)}{2}+1=\frac{p+1}{2} の地点では、後半戦の 一番最初の桁が登場します。したがって素数 p が 2桁以上の場合は Midyの定理より 9 が登場することがわかってしまいます。

まとめ

以上をまとめると次のようになります。

《定理3》
 p を 2, 5 以外の素数とする。 1/p の 循環節の長さを  e、小数点以下  k \left(\leq \frac{e}{2}\right) 桁目を  a_k とすると、

1.  e \left(\frac{p-1}{2}\right)約数であるとき


 a_{(p-1)/2+k} = a_k


2.  e \left(\frac{p-1}{2}\right)約数でないとき


 a_{(p-1)/2+k} = 9 - a_k


あとは、循環節の長さが  \left(\frac{p-1}{2}\right) の約数となる  p の条件がわかれば、当初の問題は解決しそうです。


あと一歩です。

次回:
循環小数(4): 平方剰余の相互法則 - tsujimotterのノートブック