「tsujimotterのノートブック」では、明日話しておきたい数学豆知識アドベントカレンダーという企画をやったことがあります。
adventar.org
この話を覚えておけば、明日は職場で大人気だぜ（？）、という数学豆知識を紹介する企画でした。
今日は、その逆で、
というお話を紹介したいと思います（いったい何の役に立つのか）。
2017 と 1204 の関係
昨日の日付は、2017.12.04 でした。そこで 2017 と 1204 という数に着目します。
2017 という数が素数であることはよく知られていますが、実は 非正則素数 という重要な数でもあったのです。
非正則素数とは、少し難しい概念ですが、以下に簡単にまとめていますので初めての方はご覧ください。
tsujimotter.hatenablog.com
「（ 次円分体の）イデアル類群」という大切な群の位数（要素数のこと）を割り切る素数
が非正則素数の定義です。
一方で、ベルヌーイ数という（一見まったく関係のなさそうな数の）分子を割り切る*1のも、非正則素数です。
「非正則素数」と「ベルヌーイ数」という数学的には関係なさそうな対象が実は深いところで結びついている、という素敵なことが数学の世界では起きているのですね。
だからこそ、この非正則素数という数に愛着が湧いてくる。ついでに、非正則素数で割り切れるベルヌーイ数の番号に興味が湧いてくる、というわけです。
さて、この非正則素数なのですが、調べても例があまり出てきません。そのため、特定の素数が非正則素数であることを調べようと思うとなかなか大変です。
そんなとき便利なのがこの「非正則素数チェッカー」というウェブアプリです。このアプリで、非正則素数かどうかが簡単に判定できてしまいます。
tsujimotter.info
世の中には便利なアプリがあるものですね*2。これを使ってみましょう。
非正則素数チェッカーに「2017」と入れた結果を見てみましょう。
ちゃんと「irregular prime（非正則素数）」と出ていますね！
ところで、画面の下の下の方に気になる数式が出ていますね。
この式 の意味について説明します。
まず という記号ですが、これは「
番目のベルヌーイ数
」を表しています。ベルヌーイ数は一般に分数の形で表すことができますが、
の分子は以下のような巨大な数になります：
-3919233398257054562340168954365907340609835335532421519213400591438165911400710774378016021263060248940588813597154073668132936209910767586923405063957913722422547898774958893834338003738457468940052697860262455398318732903099758731156330197477208247900217571048123810951189617325856400826016049956872593472287558281291091600460307889171650866635998268760638774543486093030638888794698996017352787181579183677323899573973378480713569708682000701995677993943152627366398160625785876071598141465365070502638406330771562665433892645886612230455369802035873242703901377532754130070842193648919496230495485958985641171405283574413146585859464545164753618215117197166688189520475202670033827037913751116829336705253988324347996754426796799900587449705496172217763911592180172748098472158947922443938055868089089234905389963129680638904098408461328355080007640595850899328689168728835600045216861330707063909680705152337297997074724914606220376087124658033887479709876803568348628332152906408061254021497579407110819749855187564291452337945179961615247504308993866492380291015016978882046505846210279117177375210506854958095946160594944478331562594031237092009744299950827188441959090428502321475750365896792413272389172977262807347593426130465456588641257199387204916842478976532813573624127836867180077474266259227359705629837665529426657633862472651594936805450183139111146514000130830922365522052461360750955983807097499670481690162233960724987284765285455862169558042111014859046101303749461963606296597759118420562474365901740000630642085066886778083690716533206284109968250800273381209477268569900059511789055745349095872067922983932395698352811143822500136435262426818466160378338461509342651299515447590772542331173531906587962097385226501800284514633399246201299387457015865425086109280136396270265231462974960767738199376727296111601980231504417126539699987678339586144374270658744453526550163837845953040637804153361657073531537609627236052605005549560817656159466660234400551394981219433500934531225744430680546548812418237326098026136045346147441053152091281173876386878242552457886896077252190545391891521050537698988474545258099535910197970962922860148805127910078226372809750182236570816241574632849587650435129321309076017
先ほどの数式の解釈に戻りますが、 は
で割ったあまりを表す記号です。以上をまとめると、先ほどの数式の意味は、
という数の分子を
で割ったあまりは
ですよ
ということを表しています。
つまり、先ほどの巨大な数は、2017 で割り切れるということですね。
こんな風に、非正則素数 2017 が 1204 番目のベルヌーイ数と関係することがわかりました。
そんなわけで、日付 1204 と 2017 年が関係することがわかりましたね。昨日の日付は、非正則素数とそれが割り切るベルヌーイ数番号という、素敵な関係にあったというわけです！
次の非正則素数は？
ところで、2017 と 1204 のような現象は珍しいのでしょうか。
次の非正則素数を調べてみると、2039 となります。あと22年待てば、非正則素数がやってきますね。
ところが、実は今回のような現象は 2039 では観測できないのです。なぜなら、
2039 が割り切るベルヌーイ数の番号が、1300 番で、1300 は日付にならないからです！
残念！！
では、次に「非正則素数が割り切るベルヌーイ数の番号がちょうど日付になる年は？」というと
なんと、2099年 です！82 年後 まで待たなければいけません！
2099 を割り切るベルヌーイ数は 1230 番目になりますから、2099年12月30日までお預けということになりますね。
この結果を見るに、2017 と 1204 の関係のお話は、
ということになりますね。
いや〜、惜しいことをしましたね。
Think globally.
というような話をツイッターでしていたら、数学ガールの結城浩先生から「ヒント：時差」というコメントが。
そうです。まだ 2017.12.04 は終わっていなかったのです。
世界時計を見てみると、どうやらサンフランシスコはまだ昨日の 16 時。
というわけで、この記事をアメリカ西海岸のみなさまに贈ります。ぜひ、ディナートークのネタにお使いください。
それでは今日はこの辺で。
