691 に心惹かれる理由 - tsujimotterのノートブック

日曜数学者と名乗る前は「数のエンターテイナー」と名乗っていた tsujimotter です。久しく数のエンターテイナー成分がなかったので、ひさびさに「数についての雑学」をお話しようと思います。

タイトルにある "691" という数は、単なる素数に見えるかもしれませんが、そうではありません。691 を見ると、何やら心が躍るような気がするのです。この記事を読んでいただけば、その気持ちがわかるかもしれません。

691 について書こうと思ったきっかけは「素数Tシャツさん」という方の次のツイートでした。
https://twitter.com/shinchan_prime/status/584722389604237312

この方は無類の素数好きとして知られた方ですが、やはり素数好きには 691 という数は魅力に映るようです。（ちなみに、加藤文元先生は代数や数論がご専門のようです。ガロアの伝記の著者としてご存知の方も多いかもしれません。）

691 を魅力に感じる理由はいくつかあると思います。私が思いつく理由は「691 が予想だにしない場面で現れるから」です。たとえば、数式の中に 2, 3, 5 といった素数のいずれかが登場したとして、とりとめて深い理由は考えないと思います。一方で 2, 3, 5 のあとに 7, 11, 13, 17, ... が登場していないのにも関わらず、突然 137 という素数が出てきたら、ぎょっとしますよね。理論的に 137 が登場する理由が分からなければ、なおさら不可解です。同じ理由で、691 が式の中に突然現れることがあるのです。何やら、必然性を感じてしまいますね。数の神秘、というやつです。

この記事では、 691 が登場する摩訶不思議な式や定理について、私の知っている限りのものを解説付きでご紹介したいと思います。もちろん、ほかにも色々面白い話があるかと思いますので、詳しい方がいましたらコメント・はてぶコメント等で補足いただけると嬉しいです。

691 とオイラー素数

まずは簡単なところからいきましょう。

Wikipedia で「600」というページを見ると 691 は「オイラー素数」であると書いてあります。オイラー素数とは、

$n^2+n+41 \tag{1}$

の形の式で表される素数のことです。

(1) の式は、「オイラーの素数生成多項式」と呼ばれていて、 $n$ に 0 から 39 までの自然数を入れるとすべて素数になるという面白い式です。

691 は $n = 25$ を入れると生成されますね。

$25^2+25+41 = 691$

参考：
600 - Wikipedia

まぁこの辺りは「オイラー素数に、たまたま 691 が選ばれた」という感じがする話ですよね。次の話からはもっと面白いです。

691 とラマヌジャンの $\tau$

次に「ラマヌジャンの $\tau$ 関数」に関連するお話を紹介します。

参考：
ラマヌジャンの L 関数と二次のオイラー積 - tsujimotterのノートブック

$\tau$ 関数は上の記事でも紹介しましたが、再度定義しましょう。次のような保型形式を考えます。

$\displaystyle q (1-q)^{24} (1-q^2)^{24} (1-q^3)^{24} \cdots$

この保型形式を展開したときの $q^n$ の係数を $\tau(n)$ とします。これがラマヌジャンの $\tau$ 関数です。

この式は、一見すると 691 と何ら関係のないように思えます。ところが、 ${\rm mod}\; {691}$ で考えるとどうでしょう。次のような奇妙な式が姿を現します。

$p$ が素数のときには、

$\tau(p) \equiv 1+p^{11} \pmod {691} \tag{2}$

一般に、自然数 $n$ に対して、

$\tau(n) \equiv \sigma_{11}(n) \pmod {691} \tag{3}$

となります。

(3) の右辺にある $\sigma_{11}(n)$ は、11 次の約数関数です。引数である $n$ の約数をすべて 11乗して足し合わせた数を関数値としてとります。

(2), (3) の式は 1916 年にラマヌジャンが発見したものです。ラマヌジャンの式が神秘的に思えるのは、24 という数字で作られた「ラマヌジャンの $\tau$ 」の式に、 $691$ という一見無関係な素数が突如として現れるからでしょう。どうしてこんな数が現れるのか知りたくなります。

残念ながら、式の導出はちょっと難しくて、 tsujimotter の手には負えません。「数論Ⅱ　岩沢理論と保型形式」の第９章で、以下の式を使った導出方法を見つけましたので、メモがてら書いておきます。

$\displaystyle E_{12}(z) = 1 + \frac{65520}{691} \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{11}(n) q^n$

$E_{12}(z)$ は、12次のアイゼンシュタイン級数と呼ばれています。id:jurupapa さんのブログでは、この式の導出を解説されています。あと、「現代数学」という雑誌の2014年10月号では、黒川先生が関連する寄稿を書いていたはずです。

参考：
-数学- アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開をリプシッツ公式から導く - Maxima で綴る数学の旅
 -数学- アイゼンシュタイン級数関連の記事の参考文献 - Maxima で綴る数学の旅

ちなみに、ラマヌジャンの $\tau$ に関連する性質は、ほかにもたくさんあって、次の MathWorld の記事としてまとまっています。

参考：
Tau Function -- from Wolfram MathWorld

さぁ、どんどんいきましょう。

691 とゼータとベルヌーイ数

次は、みんな大好きゼータ関数です。

$\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

上の式で表されるゼータ関数は、正の偶数のときは一般的な解法が知られていて、値が分かります。これが結構面白い数になるんです。

$\displaystyle \zeta(2) = \frac{1}{6} \pi^2$

この式は、オイラーが解いたバーゼル問題として知られていますね。ゼータ関数の定義が自然数だけでしか表されないのに、その和に円周率 $\pi$ が登場するのは面白いですよね。

しかし、このあとを計算するともっと面白いです。 $n = 12$ まで計算してみましょう。

$\begin{eqnarray} \zeta(4) &=& \frac{1}{90} \pi^4 \\ \zeta(6) &=& \frac{1}{945} \pi^6 \\ \zeta(8) &=& \frac{1}{9450} \pi^8 \\ \zeta(10) &=& \frac{1}{93555} \pi^{10} \\ \zeta(12) &=& \frac{691}{638512875} \pi^{12} \end{eqnarray}$

さぁ、どうでしょう。 $n = 10$ までは分子は 1 であったのにも関わらず、 $n = 12$ で突如として $691$ が現れます。これがまさに、冒頭で言っていた「突如現れる奇妙な素数」です。

念のため言っておくと、分母の 638512875 という数は、以下のように 691 の因子を持たないため、これ以上約分することは出来ません。

$638512875 = 3^6 \times 5^3 \times 7^2 \times 11 \times 13$

不思議ですねぇ。これは、691 には何かあると思いたくなります。ゼータ関数は、自然数すべてを使って足し合わせた数ですから、ある意味すべての数を象徴する関数です。このゼータ関数に、691 が突如として現れるということは・・・。いや、考え過ぎか。笑

ところで、この偶数のゼータ関数は、ベルヌーイ数 $B_n$ を使って表されることが知られています。ベルヌーイ数を使うと、引数が偶数 $2m$ のときのゼータ関数は、一般に以下のように表せます。

$\displaystyle \zeta(2m) = (-1)^{m+1}\frac{B_{2m}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!}$

したがって、上で述べた不思議な関係は「ベルヌーイ数の分子に突然 691 が現れた」と解釈することもできるでしょう。実際、

$\displaystyle B_{12} = -\frac{691}{2730}$

となって、 $n=12$ で突如として、分子に 691 が現れます。

どちらで理解するかはお好みでどうぞ。個人的には、ゼータの方が夢があって好きです。

691 とイデアル類群

最後は「イデアル類群」に関連するお話です。この話は、ほかの話と比べてやや難解ですが、 tsujimotter が一番好きな話です。

ちょっと長くなりますが、順を追って「イデアル類群とはなんぞや」というところからお話をしましょう。（イデアル類群は、本来は非常に専門的なトピックです。ここでは、所々はしょって簡単に説明します。そのため、解説に不正確な部分があるかと思いますが、その点はご了承ください。私は参考文献にある加藤先生の本を読んでこの話を知ったので、気になる方はそちらで勉強してみてください。）

イデアル類群という概念（正確に言えば、それに類する概念）が初めて登場したのは、「フェルマーの最終定理」に関するクンマーの理論だと言われています。

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エルンスト・クンマー（1810 - 1893）

フェルマーの最終定理は以下の定理でした。

フェルマーの最終定理：
$n\geq 3$ における方程式
$x^n + y^n = z^n \tag{4}$
には， $xyz \neq 0$ を満たす整数解 $x, y, z$ が存在しない。

この方程式（以下、フェルマーの方程式）の解を考えるために、クンマーは以下のような式変形を行いました。

$x^n = z^n - y^n$

右辺を複素数の範囲で「因数分解」すると、次のように書けます。

$x^n = (z - y)(z - \alpha_n y)\cdots(z - \alpha_n^{n-1} y) \tag{5}$

ここで $\alpha_n$ は、

$\displaystyle \alpha_n = \exp\left( \frac{2\pi i}{n} \right)$

で表される複素数です。

さてここで、式 (5) の右辺に $(z - \alpha_n^k y)$ のような数が現れていますが、これを「整数のようなもの」と見なすと、式 (5) は以下のように解釈できます。

（整数の n 乗）＝（「整数のようなもの」の素因数分解）

両辺がともに整数のときには、素因数分解の一意性により、式 (5) の左辺が n 乗数であれば、右辺のそれぞれの因数は n 乗数になります。

実は、これと同じことが「 $(z - \alpha_n^k y)$ を整数と見なせる世界」においても同様に成り立ちます。つまり、素因数分解の一意性より、上の式から $(z - \alpha_n^k y)$ が n 乗数であることが示せるのです。これを使って、フェルマーの方程式に解がないことが示せます。

以降で何度も使うので「 $(z - \alpha_n^k y)$ を整数と見なせる世界」のことを $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ と呼ぶことにしましょう。

一方で、ここまでの議論は「 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ において素因数分解の一意性が成り立つこと」が前提です。 $n$ の条件によっては、素因数分解の一意性が成り立たないことをクンマーは指摘しました。「素因数分解の一意性」が成り立つかどうかを考える上で、重要になる指標が「イデアル類群」です。

$\mathbb{Q}(\alpha_n)$ には、イデアル類群と呼ばれる群が定義できます。この群の定義は厄介なので説明を省きますが、「素因数分解の一意性が保証される通常の数の世界から、 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ がいかに離れているか」を表す群である、というイメージのものです。この群の大きさを類数といいますが、この類数が重要なのです。

たとえば、 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ の類数が 1 であるとき、 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ において素因数分解の一意性が成り立つことが知られています。だから、 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ の類数が 1 のときは、上の方法でフェルマーの方程式に解がないことを示せます。

参考までに $n = 39$ までの $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ の類数をまとめると、次の表のようになります。

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多くの $n$ において、類数が 1 になっているので、この場合は自動的にフェルマー方程式に解がないことを示せます。一方、 $n=23, 29, 31, 37, 39$ のように類数が 2 以上のものは、そう簡単にはいきません。

クンマーはこの方法をさらに洗練させ、類数が 1 以外の場合においても「 $n$ がある条件を満たすときに限り」フェルマーの方程式に解がないことを示しました。その条件とは「 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ の類数が $n$ で割り切れない」というものです。

ややこしい話を抜きにして結論を述べると、「 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ のイデアル類群の大きさ（すなわち類数）が $n$ で割り切れるかどうか」が、本質的に重要であるということでした。

こうなってくると、「 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ の類数が $n$ で割り切れる条件」が気になりますね。いったいどのような条件でしょうか。面白いことに、これがゼータと関係します。これまたクンマーの示したことですが、以下の定理が成り立ちます。

定理：類数が $n$ で割り切れる条件
$n$ を素数とするとき， $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ の類数が $n$ で割り切れる必要十分条件は，
$\displaystyle \frac{\zeta(2)}{\pi^{2}}, \frac{\zeta(4)}{\pi^{4}}, \frac{\zeta(6)}{\pi^{6}}, \ldots, \frac{\zeta(n-3)}{\pi^{n-3}}$
における分子のいずれかが $n$ で割り切れることである。

たとえば $n = 13$ の場合は、

$\displaystyle \frac{\zeta(2)}{\pi^{2}}, \frac{\zeta(4)}{\pi^{4}}, \frac{\zeta(6)}{\pi^{6}}, \frac{\zeta(8)}{\pi^{8}}, \frac{\zeta(10)}{\pi^{10}}$

の分子はすべて 1 でした。つまり、 $13$ で割り切れませんから、上の定理により $\mathbb{Q}(\alpha_{13})$ の類数が $13$ で割り切れません。したがって、フェルマーの方程式に解がないことが自動的に示せます。

ゼータ関数の分子が $n$ で割り切れるということと、類数が $n$ で割り切れることは密接な関係があるということが分かりました。

分子が 1 以外の場合も考えたいですね。ゼータ関数の分子が 1 にならない場合といえば、もちろん 691 ですね！！！

$n = 691$ の場合は、

$\displaystyle \frac{\zeta(2)}{\pi^{2}}, \frac{\zeta(4)}{\pi^{4}}, \frac{\zeta(6)}{\pi^{6}}, \ldots, \frac{\zeta(691-3)}{\pi^{691-3}}$

の場合をすべて調べるまでもなく、 $\frac{\zeta(12)}{\pi^{12}}$ の分子が 691 で割り切れることが分かります。したがって、上の定理より $\mathbb{Q}(\alpha_{691})$ の類数が 691 で割り切れます。よって $n=691$ においては、クンマーの方法でフェルマーの方程式に解がないことは、示すことが出来ません。

面白いでしょう！

長かったですが、ようやく本題の 691 に到達しました。笑

ちなみに「 $\mathbb{Q}(\alpha_n)$ の類数が $n$ で割り切れるような素数 $n$ 」を非正則素数といいます。この言葉を使うと 691 は非正則素数ですね。上の表で挙げた $\mathbb{Q}(\alpha_{37})$ の類数も 37 で割り切れますので、非正則素数です。非正則素数の割合は比較的少なくて、100 以下だとたった３つしかありません。今回の方法を使って、つまりベルヌーイ数の分子を割っていけば見つけることができますので、お時間ある方はチャレンジしてみてください。

まとめ

いかがだったでしょうか。691 を見て心が躍る気持ちが伝わりましたでしょうか。

高校の数学では、たとえば数は $x$ のように変数において一般的に考えてしまうので、個々の数に想いを巡らすことはあまりないでしょう。しかしながら今日お話ししたように、一般の数には成り立たないけれども、なぜか 691 では成り立つような式や定理があるのです。ほかの数が登場しない中で、突如として 691 が顔を出すような式もあるのです。