「フェルマーゲーム」の拡張性について

腹痛のためベッドの中で引きこもっていたら、4n+1型, 4n+3型の素数をそれぞれ列挙し合う新しいゲーム「フェルマーゲーム」が生まれました！腹痛もたまには良いことしますね。笑

ゲームのルールは、にせいさんがブログでまとめてくれました。

nisei.hatenablog.com

左側の正十二面体を持っている人が私です（念のため）

簡単に説明すると、フェルマーゲームとは、一方が $4n+1$ 型素数を担当し、もう一方が $4n+3$ 型素数を担当し、小さいものから順に列挙し合うゲームです。自分の担当の素数があげられなかったり、相手の担当の素数を誤って言ってしまったら負けです。

なぜ $4n+1$ 型, $4n+3$ 型という素数の分類にこだわるかというと、これらの分類によって素数の性質がまったく異なる、という面白い現象が知られているからですね。この現象は「フェルマーの二平方定理」として知られています。

フェルマーの二平方定理

$4n+1$ 型素数は、すべて $X^2 + Y^2$ の形でかける

$4n+3$ 型素数は、すべて $X^2 + Y^2$ の形でかくことができない

こうした数学的背景があり、定理の名前より「フェルマーゲーム」と名付けました。

参考：
tsujimotter.hatenablog.com

こちらが名前の由来となった、フェルマーさん。

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ちなみに、ディリクレの算術級数定理という定理によって、こうしたタイプの素数が無限に存在することが示されています。つまり、このゲームは無限に続けることができます！笑

参考：
tsujimotter.hatenablog.com

実は、このゲームはさらに拡張することが可能です。この記事では、その拡張可能性と数学的なバックグラウンドをご紹介しましょう。

オイラーゲーム

フェルマーゲームと同様に、一方が $3n+1$ 型素数を、もう一方が $3n+2$ 型素数を列挙するバリエーションも考えられます。

このゲームの背景には「オイラーの 6n+1 定理」があります。
参考：
tsujimotter.hatenablog.com

ちなみに、 $3n+1$ 型素数はどれも $6n+1$ 型素数であり、また $3n+2$ 型素数は $6n+5$ 型素数となるので、このようにそれぞれ言い換えてもいいでしょう。

多人数対戦ゲーム

フェルマーゲーム、オイラーゲームは「２人対戦ゲーム」ですが、これを「４人対戦ゲーム」に拡張することもできます。

$8n+1$ 型、 $8n+3$ 型、 $8n+5$ 型、 $8n+7$ 型に分担すれば、４人対戦ゲームとなります。これにもちゃんと数学的な根拠があります。

$8n+1$ 型、 $8n+3$ 型素数は、すべて $X^2 + 2Y^2$ の形でかける

$8n+5$ 型、 $8n+7$ 型素数は、すべて $X^2 + 2Y^2$ の形でかくことができない

ほかにも、

$8n+1$ 型、 $8n+7$ 型素数は、すべて $X^2 - 2Y^2$ の形でかける

$8n+3$ 型、 $8n+5$ 型素数は、すべて $X^2 - 2Y^2$ の形でかくことができない

という法則があります。面白いですね。

マニアックですが、８人対戦ゲームとして「ラグランジュゲーム」というバリエーションも考えられます。ラグランジュゲームでは、 $20n+1$ 型、 $20n+3$ 型、 $20n+7$ 型、 $20n+9$ 型、 $20n+11$ 型、 $20n+13$ 型、 $20n+17$ 型、 $20n+19$ 型に分担します。これは $X^2 + 5Y^2$ とかける素数の法則が、 $\mod{20}$ （20で割ったあまり）によって定まるという、ラグランジュが示した定理が由来です。

参考：
tsujimotter.hatenablog.com

一般に、素数を $n$ で割ったあまりとして考えるとき、素数となりうるのは、あまりが $n$ と互いに素である場合だけです。

$4n+1$ , $4n+3$ のときは、 $1$ も $3$ もそれぞれ $4$ と互いに素であるわけです。 $2$ は $4$ を割り切るので互いに素ではありませんが、例外として素数 $2$ を除けば $4n+2$ 型の素数は存在しません。

$n$ と互いに素な数の個数は、オイラーのトーシェント関数を使って $\varphi(n)$ と表せますから、 $\mod{n}$ においては最大 $\varphi(n)$ 人対戦ゲームができることがわかりますね。

$\mod{7}$ の場合

$\mod{7}$ の場合、 $\varphi(7) = 6$ 、すなわち $7$ と互いに素な数は $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の $6$ 個なので、６人対戦ゲームとなります。

なのですが、これではあまりに芸がないので、少し違うバリエーションを考えます。

$7n+1$ 型、 $7n+2$ 型、 $7n+4$ 型素数は、すべて $X^2 + 7Y^2$ の形でかける

$7n+3$ 型、 $7n+5$ 型、 $7n+6$ 型素数は、すべて $X^2 + 7Y^2$ の形でかけない

という法則を生かして、片方が $7n+1$ 型、 $7n+2$ 型、 $7n+4$ 型素数を担当し、他方が $7n+3$ 型、 $7n+5$ 型、 $7n+6$ 型素数を担当しましょう。すると、２人対戦ゲームになるわけですが、自分の担当する素数を把握するのが難しくなって、より緊張感のあるゲームになります。

ちなみに、整数論的にいうと、 $1, 2, 4$ は $7$ の平方剰余で、 $3, 5, 6$ は $7$ の平方非剰余です。上の法則は、この「平方剰余」によってもたらされるというのが、整数論の核心部分であり、大数学者ガウスが関心をもったトピックです。ガウスがもし21世紀にいれば、フェルマーゲームを楽しんだことでしょう。

もっと一般には

これまで紹介したものは、どれも個別のケースでした。しかし、これももっと一般的に考えることができます。

最初のフェルマーの二平方定理は、

$4n+1$ 型素数は、すべて $X^2 + Y^2$ の形でかける

というものでしたが、これに対して

$X^2 + Y^2 = (X+Y\sqrt{-1})(X-Y\sqrt{-1})$

のような式変形を考えます。少し飛躍させて考えると、この右辺は、整数に $\sqrt{-1}$ を入れた世界で「素因数分解される」と解釈することができます。

この考えをもとに、フェルマーの二平方定理は以下のように書き換えることができます。

$4n+1$ 型素数は、整数に $\sqrt{-1}$ を加えた世界では $(X+Y\sqrt{-1})(X-Y\sqrt{-1})$ の形に素因数分解される

ほかの法則も同様です。

$8n+1, 8n+3$ 型素数は、整数に $\sqrt{-2}$ を加えた世界では $(X+Y\sqrt{-2})(X-Y\sqrt{-2})$ の形に素因数分解される

正確にいうと、整数に $\sqrt{-d}$ を加えた世界では、必ずしも素因数分解の一意性が保証されないので、「素イデアル分解」というものを考える必要があります。

細かいことはおいて一番重要なことを述べますと、整数に $\sqrt{-d}$ を加えた世界において素数が分解されるかどうかは、 $\mod N$ によって定まるということです。この法則を具体的に述べたものを「素イデアルの分解法則」と言いますが、これが「円分体の類体論」という極めて美しい理論の帰結として得られます。