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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

8 と 9 の黄金ペア:カタラン予想

本日は 8 月 9 日ということで,8 と 9 のペアで作られる数学のお話をしましょう。

 8 という数は  2^3 で3乗数, 9 という数は  3^2 だから平方数ですね。これらの数の差は  1 なので

 3^2 - 2^3 = 1

が成り立ちます。すなわち,「べき乗数 ひく べき乗数」が1となっているわけです。

ここで「このような数の組は,8 と 9 のほかにもあるか?」という疑問が湧いてきますが,

そんな数の組は存在しない

と主張するのが,今日紹介する「カタラン予想」です。つまり, 8 9 の組は,数ある自然数の組の中でも特別な,いわば「黄金ペア」だというわけです。


カタラン予想を,もう少し数学的に定式化すると以下のようになります。

カタラン予想
次の方程式の整数解  (x, y, u, v) の組は  (3, 2, 2, 3) だけである.
 x^u - y^v = 1 \tag{1}

ただし, x >0, \; y > 0, \; u > 1, \; v > 1 とする.

この予想は,1844 年にベルギー人の数学者 カタラン によって提唱されました。

実際に試してみると,解となる組み合わせは  3^2 2^3 以外に存在しないように思えます。しかしながら,解の候補は無数に存在するため,単に列挙しただけでは解決にはなりません。

カタラン以前にも,この問題はオイラー (1738 年) によって考えられていたようですし,ルベーグ(あの「ルベーグ積分」で有名なルベーグではない) (1850 年),ナゲル (1921 年),セルバーグ (1932 年) ら,数多くの数学者によって取り組まれてきました。しかしながら,彼らの結果は片方の指数(あるいは両方の指数)を小さい数に固定するなどの結果にとどまっていて,一般的な指数に対する解決には至っていませんでした。

そんなに難しい問題だったのですね!

最終的に解決したのは,カタランによる予想から実に 158 年後 の 2002 年,ミハイレスクによってでした。

ミハイレスクの解法のさわり

指数が一般的な整数となる整数問題は,非常に難しい問題であることが多いと言われます。そのあたりの事情は,あの「フェルマーの最終定理」にもいえることですね。

実際カタラン予想の解決にあたっては,フェルマーの最終定理の証明でも用いられた 「円分体の整数論」 が用いられたようなのです。


以下の PDF に解説記事が載っていたので,序盤だけ流れを追ってみたいと思います。

CATALAN’S CONJECTURE: ANOTHER OLD DIOPHANTINE PROBLEM SOLVED - http://www.ams.org/journals/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/home.html


ここでは, p, q を相異なる奇素数として,

 x^p - y^q = 1 \tag{2}

という式を考えます。


まず,式  (2) を次のように変形しましょう。

 \displaystyle (x-1)\frac{x^p - 1}{x-1} = y^q \tag{3}

すると,左辺は  x-1 \displaystyle \frac{x^p - 1}{x-1} という2つの数の積の形になっていますね。一方で, y^q は整数の  q 乗です。右辺の素因数を左辺の数でどう分け与えていくか,が問題になります。

ここで,

 x^p = ((x-1) + 1)^p

と変形しておくと, x-1 \displaystyle \frac{x^p - 1}{x-1} の最大公約数は  1 p のいずれかになるようで(この辺の議論がよくわからない)それぞれのケースで場合分けして考えるようです。前者をケース1,後者をケース2とします。

ケース1:最大公約数が  1

このケースにおいては, a, b を互いに素な  p を割らない数として,

 y = ab
とおきます。すると, y q 乗を  (2) 式の左辺が分け合うので,
 \displaystyle x - 1 = a^q

 \displaystyle \frac{x^p - 1}{x-1} = b^q


この場合は初等的に解けるようで,問題は ケース2 となります。

ケース2:最大公約数が  p

 x-1 \displaystyle \frac{x^p - 1}{x-1} の最大公約数が  p となるわけですが,  (2) 式の右辺が  q 乗数なので,左辺を掛け合わせたときに  p^q が現れないといけません。

いろいろ考えると, x-1 の方が  p^{q-1} を持っているとよいそうで,以下のように置くことができます。

 \displaystyle x - 1 = p^{q-1}a^q \tag{4}

 \displaystyle \frac{x^p - 1}{x-1} = pb^q \tag{5}

 \displaystyle y = pab \tag{6}


ここで,問題を 円分体  \mathbb{Q}(\zeta_p) に拡張して考えます。 \zeta_p 1 の原始  p 乗根のことで,この数を含んだ体まで広げて上式を「因数分解」していきます。

 \displaystyle X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 + X^1 + 1 = \prod_{k=1}^{p-1} (X - \zeta_p^{k})

という円分多項式の  X 1 を代入すると,

 \displaystyle p = \prod_{k=1}^{p-1} (1 - \zeta_p^{k}) \tag{7}

と「 p の(素)因数分解」が得られます。このように,円分体  \mathbb{Q}(\zeta_p) に拡大すると  \mathbb{Q} において素数だった数  p が,分解してしまうのです。

さらに, X = x すると

 \displaystyle \frac{x^p - 1}{x-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x^2 + x^1 + 1 = \prod_{k=1}^{p-1} (x - \zeta_p^{k})

も得られますね。したがって  (5) 式は

 \displaystyle \prod_{k=1}^{p-1} \frac{x - \zeta_p^{k}}{1 - \zeta_p^{k}} = b^q \tag{8}

と変形できます。ここで, \displaystyle \frac{x - \zeta_p^{k}}{1 - \zeta_p^{k}} については,

  \displaystyle \frac{x - \zeta_p^{k}}{1 - \zeta_p^{k}} =  \frac{(x-1) + (1 - \zeta_p^{k})}{1 - \zeta_p^{k}}

という「うまい変形」ができます。 (x-1) p で割れることと,式 (7) により  p (1 - \zeta_p^{k}) を因数に含むことを考えると, \displaystyle \frac{x - \zeta_p^{k}}{1 - \zeta_p^{k}} は,円分体の整数環  \mathbb{Z}[\zeta_p] の数であると結論されます。

したがって,式  (8) は円分体の整数環  \mathbb{Z}[\zeta_p] における因数分解の式となっているわけです。円分体の整数論の議論にもっていけそうですね!


ただし,一般の円分体においては,素因数分解の一意性 が成り立たなかったり,単数の問題があったりするので,そう簡単にはいきませんというのがこの先の流れになります。


そのあたりの難しさについては,以下の記事でも触れましたので,読んでいただければイメージは伝わるかと思います。
tsujimotter.hatenablog.com


ここから先の証明の話は,技術的にだいぶややこしくなりそうなので,今日の記事ではやめておきましょう。


せっかくなので,カタラン予想に関連する ヴィーフェリッヒ素数 について触れておきたいと思います。

カタラン予想とヴィーフェリッヒペア

ヴィーフェリッヒ素数とは,

 2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}

を満たす素数  p のことです。

フェルマーの小定理により,mod  p において  p と互いに素な  a に対し

 a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

が成り立ちますので,さらに  p^2 のときを考えたものがヴィーフェリッヒ素数といえます。mod  {p} を考えると,mod  {p^2} を考えたくなるのは,数論においてはよくあることなのだそうです。


ヴィーフェリッヒ素数は,フェルマーの最終定理に関連していることでもよく知られていますね。
integers.hatenablog.com


ヴィーフェリッヒ素数が,カタラン予想にどうつながるのかを,エッセンスだけお伝えしましょう。


ケース2の式  (4) を以下のように変形します。

 \displaystyle x = (p^{q-1} - 1)a^q + a^q + 1

 (p^{q-1} - 1) という項がみえますね。ここで, q^2 の合同式を考えると, x q^2 で割れるようで,いろいろ条件を考えると

 p^{q-1} \equiv 1 \pmod{q^2}

という合同式に落とせるのだそうです。また  p, q を入れ替えた

 q^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}

も成り立つようです。これらの2つの合同式を満たす  (p, q) の対を ヴィーフェリッヒペア といって,これがカタラン予想の条件になるようですね。


ミハイレスクは,「カタラン予想を満たす  (p, q) の組がほかにも存在するとしたら,ヴィーフェリッヒペアでなければならない」ことを示しました。この事実を用いて  (p, q) の候補を絞っていったのですね。


Wikipedia によると,ヴィーフェリッヒペアは以下の7組が見つかっているようです。

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917), and (2903, 18787).

参考:Wieferich pair - Wikipedia, the free encyclopedia

類題

カタラン予想とは直接関係ありませんが,「似たような式の形」をした類題を2つご紹介します。

平方数と立法数の差が  2 となるような数の組

このような数の組は  3^3 5^2 だけであることが知られており,実際

 3^3 - 5^2 = 2

が成り立ちます。証明は  \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] における整数論を用います。

つい先日,以下のような記事をみつけました。こちらが参考になるかと思います。
corollary2525.hatenablog.com


京大の入試問題

 p, q を素数として  p^q + q^p の形で表せる素数は  17 ただ1つであることが知られています。これは,2016 年の京大の入試問題にもなりましたので,覚えている方も多いかもしれません。

以下の2つの記事が面白くて参考になります。
motcho.hateblo.jp

integers.hatenablog.com

おわりに

今日の日付 8 月 9 日に関連して,8 と 9 にちなんだ「カタラン予想」という問題をご紹介しました。

簡単に紹介して終わりにするつもりだったのですが,円分体の話が出てきたり,ヴィーフェリッヒ素数の話が出てきたり,なかなか面白くてつい語りたくなってしまいますね。

ずいぶん記事も長くなってきましたので,そろそろ筆をおきたいと思います。


最後に一言。


カタラン予想のことは,これ以上は語らん。


・・・


おあとがよろしいようで。笑


参考文献

以下の記事が大変参考になりました。

カタラン予想の解決

以下が,ミハイレスク本人による「カタラン予想証明」の論文。私はまったく読めませんでした。

http://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf