複素積分は整数論に使える？ - tsujimotterのノートブック

ハッピーフィボナッチ！

今日は 11/23 で，フィボナッチ数の最初の４項 1, 1, 2, 3 が並ぶ日です。そのため，11/23 はフィボナッチの日と呼ばれ，親しまれているようです。

フィボナッチ数列は，

$\begin{align} F_n &= F_{n-1} + F_{n-2}\;\;\;\; (n \geqq 2), \\ F_0 &= 0, \\ F_1 &= 1 \end{align} \tag{1}$

という漸化式で定義された非常に有名な数列です。「 $F_n$ の一般項を求めよ」という問題はよく大学入試の難問として紹介されたりしますね。数学好きなら一度は計算したことがある問題ではないでしょうか。

今日は，このフィボナッチ数列の一般項のちょっぴり変わった求め方を紹介したいと思います。

複素積分

さて，大学で複素関数論を学んだ人は，必ず「複素積分」というものを教わると思います。

複素積分とは，以下の形をした積分のことでした。

$\displaystyle \oint_{C} f(z) dz \tag{2}$

$C$ は複素平面上の閉曲線です。閉曲線の経路によらず，特異点を回ったかどうかで積分の値が決まってしまうのが面白いですよね。

tsujimotterは工学部出身で，数学は専門ではありませんが，複素関数論は習いました。当時は，この積分が何の役に立つのかさっぱりわからなかったのですが*1，最近ようやく使いどころがわかってきました。

複素積分の応用の一つとして，積分によって「数列」の解析ができる，ということを説明したいと思います。

まず， $z = 0$ を含む単連結な領域でテイラー展開できる複素関数を考えます。 $z = 0$ の周りでテイラー展開して，

$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \cdots a_n z^n + \cdots \tag{3}$

と表せたとします。

一般に，テイラー展開できる関数は，その収束範囲に含まれる閉路 $C$ で積分すると $0$ になります。これがコーシーの積分定理です。

定理：コーシーの積分定理

$f(z)$ を単連結領域 $D$ において解析的であるとする．このとき， $D$ 内の任意の単純閉曲線 $C$ に対して，以下がなりたつ：

$\displaystyle \oint_{C} f(z) dz = 0 \tag{4}$

ここでもし，負べきの項 $1 / z$ が入っている場合はどうでしょう。 $f(z)$ を $z$ で割って

$\displaystyle \frac{f(z)}{z} = \frac{a_0}{z} + a_1 + a_2 z + \cdots + a_n z^{n-1} + \cdots \tag{5}$

とします。すると，

$\displaystyle \oint_{C} \frac{f(z)}{z} dz = 2\pi i a_0 \tag{6}$

となります。

要するに，積分することで「マイナス１次の項 $1/z$ 」の係数が， $2\pi i$ をかけた上で飛び出ててくるのですね。

より一般に以下が成り立ちます。

定理：コーシーの積分公式

$f(z)$ を単連結領域 $D$ において解析的であるとする．このとき， $D$ 内の任意の点 $z_0$ に対して単純閉曲線 $C$ に対して

$\displaystyle \oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = 2\pi i f(z_0) \tag{7}$

が成り立つ．ここで，積分経路 $C$ は反時計回りに行う．

$z_0 = 0$ の周りのテイラー展開を $f(z) = a_0 + a_1 z + \cdots$ とすると， $f(z_0) = a_0$ となりますね。

同様に $z^{n+1}$ で割ると，

$\displaystyle \oint_{C} {\frac{f(z)}{z^{n+1}} dz} = 2\pi i a_n \tag{8}$

$a_n$ が飛び出てきます。

この事実によって，テイラー展開の（任意の次数の）係数を取り出すことができるようになったわけです！

ここで一つ逆転の発想をするのですが， $f(z)$ のテイラー展開の係数 $a_n$ として，求めたい数列を選びます。たとえば， $a_n = F_n$ としておきます。すると，先の積分によって $a_n$ の項を取り出すことができます。

これだけだとただ数列を出し入れするだけですが，ここで「母関数」と呼ばれるものを考えます。母関数とは，数列の $n$ 番目の項に $z^n$ をかけて足しあわせてできるべき級数のことです。

先の $f(z)$ は，数列 $a_n$ の母関数になっています。さらには，フィボナッチ数の母関数は，わかりやすい形に変形できることが知られています。あとは，その簡単化された母関数の積分を実行すれば，求める数列の一般項が得られるという寸法です。

フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列 $F_n$ の一般項を求める問題を，以上の考えを用いて解いてみましょう。

$F_n$ を係数に持つ母関数 $F(z)$ を考えます。

$F(z) = F_0 + F_1 z + F_2 z^2 + \cdots + F_n z^n + \cdots \tag{9}$

$F(z)$ は，以下のように書き表すことができます。

$\displaystyle F(z) = \frac{z}{1-z-z^2} \tag{10}$

式 $(10)$ の求め方は，少し長くなるのでここではやめておきます。非常にわかりやすい解説が「数学ガール」という本に載っているので，興味がある方は読んでください。

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

作者:結城浩
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式 $(10)$ の分母を因数分解します。二次方程式 $1 - z - z^2 = 0$ の解の公式より，

$\displaystyle \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \;\; \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

とおくと，

$\displaystyle F(z) = \frac{z}{ (1 - \alpha z) (1 - \beta z) } \tag{11}$

とできます。部分分数分解すると

$\displaystyle F(z) = \frac{1}{\alpha - \beta}\left\{ \frac{1}{1 - \alpha z} - \frac{1}{1 - \beta z} \right\} \tag{12}$

が得られます。

等比級数の公式より， $|x| < 1$ において

$\displaystyle \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots$

が成り立つから， $|\alpha z| < 1, \; \; |\beta z| < 1$ で

$\displaystyle \begin{align} \frac{1}{1-\alpha z} &= 1 + \alpha z + \alpha^2 z^2 + \cdots + \alpha^n z^n + \cdots, \\ \frac{1}{1-\beta z} &= 1 + \beta z + \beta^2 z^2 + \cdots + \beta^n z^n + \cdots \end{align}$

がそれぞれ成り立ちます。

したがって， $|z| < 1/\alpha = \beta$ において，

$\displaystyle F(z) = \frac{1}{\alpha - \beta}\left\{ (\alpha - \beta) z + (\alpha^2 - \beta^2) z^2 + \cdots + (\alpha^n - \beta^n) z^n + \cdots \right\} \tag{13}$

が成り立つ。

ここで $F(z)/z^{n+1}$ の複素積分を考えます。

$\displaystyle \oint_{C} \frac{F(z)}{z^{n+1}} dz = \oint_{C} \frac{1}{(\alpha - \beta)}\left\{ (\alpha - \beta) \frac{1}{z^{n}} + \cdots + (\alpha^n - \beta^n) \frac{1}{z} + \cdots \right\}dz \tag{14}$