「基本領域ゲーム」を作った

保型形式の理論を勉強していると基本領域（Fundamental Domain）という概念が出てきます。これ非常に重要な概念だと思うのですが、専門書を読んでも何を書いてあるかサッパリ分からないのですよね。

これ以上考えていても埒があかないので、図示してみようと思ったのが今回のきっかけです。やってみると、意外とゲームっぽい要素があったのでゲームにしてしまえと思って、結果ゲームになりました。笑

何はともあれ、まずは遊んでみてください。

基本領域ゲーム：上半平面 H を埋め尽くせ！

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ゲームへのリンクはこちら：
tsujimotter.info

遊び方

まず上のページにアクセスします。すると、こんな画面が出るでしょう。

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赤色の「基本領域」からスタートします。「S」と「T」という、何やら厳めしい「行列」が書かれたボタンを押していくと、ボタンに対応する領域が新たに塗られます。これを繰り返していくと、今まで白かった領域が赤色に染まっていきます。ちなみに、この塗ろうとしている目的の平面を「上半平面」といいます。

この領域を広げていき、最終的には、上半平面を一通り赤色で埋め尽くすことが目的です。
と言っても、無限に続けることができますし、とくにゲームが終了するわけではありません。満足できたら終わりです。

tsujimotter は以下のぐらいまで塗ったところで満足しました。ここまでやるのは意外と難しいのですよ。

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満足したら、スクリーンショットを SNS に貼って自慢してもいいでしょう。自由に遊んでみてください。

新しい遊び方、要望などを思いついた方がいましたら、@tsujimotter までご一報ください。

数学的な解説

プログラミングをしているうちにだんだんと理解が深まってきてしまいましたので、ここで数学的な背景を解説したいと思います。

まず保型形式は、前回の記事で解説したように、上半平面 $H = \{ z\in \mathbb{C} \mid {\rm Im}(z) > 0 \}$ 上で定義される複素関数です。ずばり複素数平面の「上半分」を指している領域なので、上半平面といいます。

で、一般の保型形式の説明は抽象的すぎるので、ここでは ${SL} (2, \mathbb{Z})$ に対する保型形式を考えます。

$\varGamma = {SL} (2, \mathbb{Z})$ に対する保型形式

${SL} (2, \mathbb{Z})$ は以下の式で定義される線形変換の群です。

${SL}(2, \mathbb{Z}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix} \middle| \; a, b, c, d \in \mathbb{Z}, \; ad - bc = 1 \right\}$

行列の各要素が「整数」になっていること、そして、行列式が 1 であること、が際立った特徴です。

別名「フルモジュラー群」といいます。何が「フル」かというと、この部分群があってこれまた保型形式に使われるのですが、その部分群と比較して「フル」ということです。

${SL}(2, \mathbb{Z})$ と何度も書くのは大変なので、 $\varGamma$ と置きましょう。つまり、

$\varGamma = {SL}(2, \mathbb{Z})$

ということです。（この書き方は標準的な記法で、よく使われます。）

この変換が、先ほどの上半平面上の複素数 $z$ に対して作用します。具体的にはこんな感じになります。

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} : z \longmapsto \frac{az+b}{cz+d}$

ただし、 $\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \varGamma$ 。

「複素関数論」を習った方は、「一次分数変換」といえば思い出してもらえるでしょうか。

さて、フルモジュラー群 $\varGamma$ に対する保型形式（または、 ${SL} (2, \mathbb{Z})$ に対する保型形式）とは、

$\displaystyle f\left( \frac{az+b}{cz+d} \right) = (cz+d)^k f(z) \tag{1}$

を満たす $H$ 上の正則関数であり、 $z\to i\infty$ においても正則であるものを言います。

後半の正則性の話はさておき、前半の話は $\varGamma$ の元による変換に対して、 $(cz+d)^k$ しか形が変化しない、ということを主張しています。「型が保たれている」わけです。そのため「保型」形式と呼びます。

基本領域のイメージ

さて、そろそろ基本領域の話にいきたいですね。そのためには (1) 式が鍵となるわけですが、この式は何を指しているのでしょう。

たとえば、 $\varGamma$ の元として、以下のものをとってきましょう。

$\displaystyle T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \varGamma$

この変換 $T$ は非常にシンプルな変換です。どういうものかは、 $z$ に作用させてみれば一目瞭然です。

$\displaystyle Tz = z + 1$

これ、ただの「平行移動」ですね。そう、変換 $T$ は平行移動を表す変換行列です。 $\varGamma$ の元には、平行移動も含まれているのですね。一気に親しみが沸いてきませんか？

親しみが沸いたついでに、高校数学を思い返してみてください。 $\varGamma$ に対する保型形式は、平行移動して（ほとんど）同じ形に戻る関数です。似たような関数がありませんでしたか。

そう、三角関数です。たとえば、これはどうでしょう。

$\sin(2\pi x)$

$x\to x+1$ の変換に対して、同じ形に戻りますね。残念ながら、三角関数は保型形式そのものではありません。保型形式は、他の変換に対しても不変でなくてはなりませんからね。

さて、三角関数には周期がありました。上の三角関数は、基本周期は $-\frac{1}{2}$ から $\frac{1}{2}$ でしたね。高校のときもそうでしたが、本来の三角関数の定義域は、実数すべてであったにも関わらず、この基本周期の範囲しか考えませんでした。それは、基本周期だけ考えて、あとの領域は「 $x\to x+1$ の変換に対する不変性」を使ってあげればよいからですね。「コピー＆ペースト」できるわけです。

$\varGamma$ に対する保型形式についても、まったく同じことがいえます。複素数の範囲で、 $z$ の実部が $-\frac{1}{2}$ から $\frac{1}{2}$ までの「基本周期」を考えて、この範囲で値を求めることが出来れば、 (1) 式の保型性からすべての上半平面においての値が「コピー＆ペースト」で求まります。

保型形式が三角関数の例と異なる点は、「考えるべき領域」が基本周期よりももっと小さい範囲で済むということです。他にも、いろいろな変換があります。たとえば、こんな変換です。

$\displaystyle S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \varGamma$

この変換 $S$ は $T$ と比べるとややイメージが難しいですが、 $z$ に作用させると以下のようになります。

$\displaystyle Sz = -\frac{1}{z}$

このようなさまざまな変換に対する保型性を考慮して、「コピー＆ペースト」するための最小限の領域は、いったいどんな領域でしょう。それが、タイトルにもある「基本領域」です。

$\varGamma$ における基本領域は、まさにゲームの最初に登場する、赤色の領域 $D$ です。

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左右は $z$ の実部が $-\frac{1}{2}$ から $\frac{1}{2}$ の範囲に収まっています。下側の扇形にくりぬかれた部分の半径は $1$ となっています。この赤色の領域 $D$ に $\varGamma$ の元を作用させると、 $H$ 上の別の領域に移動します。

試しに、 $D$ に $S$ を作用させてみましょう。

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青い領域に移動しますね。 $S$ の担当する領域はここだったというわけです。

$T$ を作用させると、（明らかですが）右に平行移動します。

この作用は繰り返すことができて、 $S$ を作用させたあと $T$ を作用させて、さらにまた $T$ を作用させて・・・、のようなことができるわけです。

重要なことは、 $D$ は基本領域なので、 $\varGamma$ のすべての元を作用させると、 $H$ を埋め尽くすことができるということです。しかも、漏れなくダブりなく。

だからサブタイトルが「上半平面 H を埋め尽くせ！」だったわけですね。 $\varGamma$ ですべてを埋め尽くすことは、数学的に示された事実だったというわけです。面白いでしょう。

基本領域の定義

基本領域 $D$ は、数学的には以下のように定義されます。

$D = \varGamma \backslash H \tag{2}$

この記法がいまいちイメージが沸かないですよね。tsujimotter もそうです。不正確なことを承知の上で、あえてイメージを説明するなら、こうでしょうか。

$H$ の部分集合である基本領域 $D$ は $\varGamma$ のすべての元の作用によって $H$ 全体を埋め尽くします。このことを仮に $\varGamma D = H$ と書きましょう。この式から、逆に $D = H/\varGamma$ のように書けそうですね。これを商集合と読んでいます。