ヒルベルトの定理90とクンマー理論 - tsujimotterのノートブック

「ヒルベルトの定理90」という有名な定理があります。

定理の名称は，ヒルベルトの有名な報文（Zahlbericht）での定理番号から

今日はこの定理について紹介します。

定理：ヒルベルトの定理90

$L/K$ を有限次ガロア拡大としたとき，

$H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0 \tag{1}$

が成り立つ。

定理のステートメントには「群コホモロジー」という概念が登場します。 $G$ -加群 $A$ に対して，群コホモロジー $H^i(G, A)$ は定義されます。

一方で，群コホモロジーの定義は，少々厄介です。正直なところをいうと，私もあまりよくわかっていません。群コホモロジーは抽象的な概念なので，意味を捉えづらいと感じているのですが，きっと重要な（そして面白い）概念なんだと思って勉強しています。

そんな中で「ヒルベルトの定理90があるとどう嬉しいか」について，少しだけわかった気がしたので紹介したいと思います。

あくまで「ヒルベルトの定理90があると何が言えるのか」に限定して話をしたいと思います。したがって，群コホモロジーの定義もしないし，ステートメントの解説もしません。

１次の群コホモロジーの定義とヒルベルトの定理90の証明については，せきゅーんさんの以下の記事が大変参考になります：
integers.hatenablog.com

今日は，ヒルベルトの定理90の使い道として「クンマー理論への応用」を紹介します。実は，前回紹介した「クンマー理論」は，ヒルベルトの定理90を用いて導くことができます。

参考：クンマー理論
tsujimotter.hatenablog.com

途中で難しい式変形もしますが，わからなければ「へぇ，こんな風に変形していくんだ」と読み飛ばして楽しんでいただければと思います。
（ところどころ自信のない箇所もありますので，勉強なさる際は鵜呑みにせずに専門書を当たってください。）

クンマー理論を導く

まず，クンマー理論の前提として， $K$ を１の $n$ 乗根 $\mu_n$ を含む標数 $0$ の体とし， $L/K$ を有限次ガロア拡大とする。

このとき，以下の完全系列が得られる（これをクンマー完全系列という）。

$0 \longrightarrow \mu_n \longrightarrow L^\times \xrightarrow{\; n \;} (L^\times)^n \longrightarrow 0 \tag{2}$

真ん中の $\xrightarrow{\; n \;}$ は $L^\times$ の元を $n$ 乗する写像である。

式 $(2)$ の系列に対して，ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ に対するガロアコホモロジーの長完全列をとると，

$\begin{align} 0 \longrightarrow \mu_n^{\mathrm{Gal}(L/K)} &\longrightarrow (L^\times)^{\mathrm{Gal}(L/K)} \xrightarrow{\; n \;} ( (L^\times)^n )^{\mathrm{Gal}(L/K)} \\ &\xrightarrow{\; \eta \;} H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) \longrightarrow \cdots \end{align} \tag{3}$

を得る。 $\eta$ は蛇の補題によって得られる連結準同型である。

一般論として， $G$ -加群の短完全列

$0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0$

に対して，ガロア群 $G$ に対するガロアコホモロジーの長完全列をとると

$\begin{align} 0 \longrightarrow & A^G \longrightarrow B^G \longrightarrow C^G \\ &\xrightarrow{\; \delta \;} H^1(G, A) \longrightarrow H^1(G, B) \longrightarrow H^1(G, C) \longrightarrow \cdots \end{align}$

が得られるそうです（たぶん）。

ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ の作用は，

$\begin{align} (L^\times)^{\mathrm{Gal}(L/K)} &= K^\times \\ ( (L^\times)^n)^{\mathrm{Gal}(L/K)} &= K \cap (L^\times)^n \end{align}$

であるから，

$K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n \xrightarrow{\; \eta \;} H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) \tag{4}$

が得られる。

ヒルベルトの定理90より， $H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0$ であるから

$K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n \xrightarrow{\; \eta \;} H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow 0 \tag{5}$

が得られる。

完全系列 $(5)$ の完全性から

$(K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n \simeq H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{6}$

がいえる。

式 $(5)$ の完全性より

$\begin{align} \mathrm{Im}( K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n ) &= \mathrm{Ker}( \eta ) \\ \mathrm{Im}( \eta ) &= \mathrm{Ker}( H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow 0 ) \end{align}$

が得られる。ここで，

$\begin{align} \mathrm{Im}( K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n ) &= (K^\times)^n \\ \mathrm{Ker}( H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow 0 ) &= H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \end{align}$

である。

また， $\eta$ についての準同型定理より

$(K \cap (L^\times)^n)/\mathrm{Ker}( \eta ) \simeq \mathrm{Im}( \eta )$

である。

よって

$(K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n \simeq H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n)$

が得られる。

また， $\mu_n \subset K$ より $\mathrm{Gal}(L/K)$ は $\mu_n$ に自明に作用するので，

$H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) = \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{6}$

が得られる。

したがって，式 $(5)$ と合わせて

$(K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n \simeq \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{7}$

が得られる。

一旦まとめよう。

命題

$L/K$ を有限次ガロア拡大とし， $\mu_ n \subset K$ であると仮定する．

このとき，

$(K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n \simeq \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{7}$

が成り立つ．

上の命題において， $L/K$ を指数 $n$ のアーベル拡大とすると（この場合，ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ の任意の元の位数が $n$ を割り切る）， $\mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \simeq \mathrm{Gal}(L/K)$ が成り立って