tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

ヒルベルトの定理90とクンマー理論

「ヒルベルトの定理90」という有名な定理があります。

定理の名称は,ヒルベルトの有名な報文(Zahlbericht)での定理番号から

今日はこの定理について紹介します。

定理:ヒルベルトの定理90
 L/K を有限次ガロア拡大としたとき,
 H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0  \tag{1}

が成り立つ。

定理のステートメントには「群コホモロジー」という概念が登場します。 G-加群  A に対して,群コホモロジー  H^i(G, A) は定義されます。

一方で,群コホモロジーの定義は,少々厄介です。正直なところをいうと,私もあまりよくわかっていません。群コホモロジーは抽象的な概念なので,意味を捉えづらいと感じているのですが,きっと重要な(そして面白い)概念なんだと思って勉強しています。

そんな中で「ヒルベルトの定理90があるとどう嬉しいか」について,少しだけわかった気がしたので紹介したいと思います。

あくまで「ヒルベルトの定理90があると何が言えるのか」に限定して話をしたいと思います。したがって,群コホモロジーの定義もしないし,ステートメントの解説もしません。


今日は,ヒルベルトの定理90の使い道として「クンマー理論への応用」を紹介します。実は,前回紹介した「クンマー理論」は,ヒルベルトの定理90を用いて導くことができます。

参考:クンマー理論
tsujimotter.hatenablog.com

途中で難しい式変形もしますが,わからなければ「へぇ,こんな風に変形していくんだ」と読み飛ばして楽しんでいただければと思います。
(ところどころ自信のない箇所もありますので,勉強なさる際は鵜呑みにせずに専門書を当たってください。)

クンマー理論を導く

まず,クンマー理論の前提として, K を1の  n 乗根  \mu_n を含む標数  0 の体とし, L/K を有限次ガロア拡大とする。


このとき,以下の完全系列が得られる(これをクンマー完全系列という)。

 0 \longrightarrow \mu_n \longrightarrow L^\times \xrightarrow{\; n \;} (L^\times)^n \longrightarrow 0 \tag{2}


真ん中の  \xrightarrow{\; n \;} L^\times の元を  n 乗する写像である。


 (2) の系列に対して,ガロア群  \mathrm{Gal}(L/K) に対するガロアコホモロジーの長完全列をとると,

 \begin{align} 0 \longrightarrow \mu_n^{\mathrm{Gal}(L/K)} &\longrightarrow (L^\times)^{\mathrm{Gal}(L/K)} \xrightarrow{\; n \;} ( (L^\times)^n )^{\mathrm{Gal}(L/K)} \\
&\xrightarrow{\; \eta \;} H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) \longrightarrow \cdots \end{align} \tag{3}


を得る。 \eta は蛇の補題によって得られる連結準同型である。

一般論として, G-加群の短完全列
 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0

に対して,ガロア群  G に対するガロアコホモロジーの長完全列をとると

 \begin{align} 0 \longrightarrow & A^G \longrightarrow B^G \longrightarrow C^G \\ 
 &\xrightarrow{\; \delta \;} H^1(G, A) \longrightarrow H^1(G, B) \longrightarrow H^1(G, C) \longrightarrow \cdots \end{align}

が得られるそうです(たぶん)。

ガロア群  \mathrm{Gal}(L/K) の作用は,

 \begin{align} (L^\times)^{\mathrm{Gal}(L/K)} &= K^\times \\
 ( (L^\times)^n)^{\mathrm{Gal}(L/K)} &= K \cap (L^\times)^n \end{align}

であるから,

 K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n \xrightarrow{\; \eta \;} H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) \tag{4}


が得られる。


ヒルベルトの定理90より H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0 であるから

 K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n \xrightarrow{\; \eta \;} H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow 0 \tag{5}

が得られる。


完全系列  (5) の完全性から

 (K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n \simeq H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{6}

がいえる。

 (5) の完全性より
 \begin{align} \mathrm{Im}( K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n ) &= \mathrm{Ker}( \eta ) \\
 \mathrm{Im}( \eta ) &= \mathrm{Ker}( H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow 0 ) \end{align}

が得られる。ここで,

 \begin{align} \mathrm{Im}( K^\times \xrightarrow{\; n \;} K \cap (L^\times)^n ) &= (K^\times)^n \\
 \mathrm{Ker}( H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \longrightarrow 0 ) &= H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \end{align}

である。

また, \eta についての準同型定理より

 (K \cap (L^\times)^n)/\mathrm{Ker}( \eta ) \simeq \mathrm{Im}( \eta )

である。

よって

 (K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n \simeq H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n)

が得られる。


また, \mu_n \subset K より  \mathrm{Gal}(L/K) \mu_n に自明に作用するので,

 H^1(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) = \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{6}

が得られる。


したがって,式  (5) と合わせて

 (K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n  \simeq  \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{7}


が得られる。


一旦まとめよう。

命題
 L/K を有限次ガロア拡大とし, \mu_ n \subset K であると仮定する.

このとき,

 (K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n  \simeq  \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \tag{7}

が成り立つ.


上の命題において, L/K を指数  n のアーベル拡大とすると(この場合,ガロア群  \mathrm{Gal}(L/K) の任意の元の位数が  n を割り切る),  \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n) \simeq \mathrm{Gal}(L/K) が成り立って

 (K \cap (L^\times)^n)/(K^\times)^n  \simeq  \mathrm{Gal}(L/K) \tag{8}

が言えることになる。

私は理解できていないのですが,式  (7) の具体的な同型
 \displaystyle \alpha \longmapsto \left( \sigma \mapsto \frac{\sigma(\sqrt[n]{\alpha})}{\sqrt[n]{\alpha}} \right)

も言えるらしい。


よって, D = K \cap (L^\times)^n, \; L = K(\sqrt[n]{D}) として,クンマー理論の結論が復元できた。


やった!!


短いですが,今日はこの辺で。

補足

 \overline{K} K の代数閉体として,

 K^\times/(K^\times)^n  \simeq  H^1(G_K, \mu_n) \tag{8}

としたバージョンのものも見かけるので,関連について述べておきたい。 G_K K の絶対ガロア群といって  G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) である。

 \overline{K}/K が無限次拡大なので, G_K が位相群(特に副有限群(pro-finite group)とよばれるタイプのものらしい)ので,そのままでは冒頭のヒルベルトの定理90は当てはまらない。しかし,[1] や [3] によると有限群のケースに帰着して考えることができて
 H^1(G_K, \overline{K}^\times) = 0

とできるみたいである。よって, L = \overline{K} として同様に議論を進めていくと

 (K^\times\cap (\overline{K}^\times)^n ) /(K^\times)^n  \simeq  H^1(G_K, \mu_n)

が得られる。 K^\times\cap (\overline{K}^\times)^n = K^\times より( K^\times のすべての元に対する  n 乗根は  \overline{K}^\times に含まれる)

 K^\times/(K^\times)^n  \simeq  H^1(G_K, \mu_n)

として式  (8) が得られる。

また, \mu_n \subset K より  \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) \mu_n に自明に作用するので,

 K^\times/(K^\times)^n  \simeq \mathrm{Hom}(G_K, \mu_n)

もいえる。

参考にしたもの

[1] http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2010/REUPapers/Harper.pdf

[2] https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/ss2014/pdf/fujii.pdf

[3] http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009-report.pdf

[4]

類体論講義 (日評数学選書)

類体論講義 (日評数学選書)

以下は,ガロアコホモロジーの長完全列の箇所についてだけ,一瞬参照しました(ほぼ読んでません)。
[5]

Galois Cohomology (Springer Monographs in Mathematics)

Galois Cohomology (Springer Monographs in Mathematics)

群コホモロジーについての参考ページ

d.hatena.ne.jp

d.hatena.ne.jp