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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

(小ネタ)恋する無限遠点

Aさん「私はBくんのことが大好き!」
Bくん「僕はその100倍好き!」
Aさん「じゃあ私はその1000倍好き!」
俺「y=100x,x=1000yだからx=y=0」

というネタがツイッターで流れてきたので、私も乗っかりたくなりました。

普通に実数上で上記の式を考えてしまうと  x = y = 0 になってしまうわけですが、たとえば  \bmod{m} とかで考えれば別の解が存在することになりますね。

以下のページで詳しく書いてありましたので、ご紹介します。

私はあなたのことがこんなに好き! - ぷりんの雑記帳


さて、私の方はというと、これを「楕円曲線」で考えたくなったというわけです。

楕円曲線  E 上の任意の点には、自然に「加法(+)」という演算を入れることができて「アーベル群」をなします。この場合の単位元  O は「無限遠点」になります。

加法を  n 回繰り返せば  n 倍という写像も自然に定義できます。

 P + P + \cdots + P \overset{\mathrm{def}}{=} n P

また、 nP O に一致するとき、 P を楕円曲線  n 等分点といいます。 n 回繰り返すと戻ってくるということですね。こんな風に戻ってくる点もあれば、二度と戻ってこない点もあります。戻ってくる点のことを「ねじれ点」と言ったりもします。


さて、先の問題に話を戻すと、彼女の愛情を点  X とし、彼の愛情を点  Y とします。楕円曲線では  100 倍とか  1000 倍とかを考えることができますから、先ほどの記事と同じ議論ができますね。

結果的に、3倍か41倍か271倍して  O になる、等分点を持つような楕円曲線を見つけてくればいいわけですね。

たとえば、

 Y^2 = X^3 - 2

という曲線を考えて、この曲線に無限遠点を加えると楕円曲線になります。これを  E とすると、 E にはたとえば  (2, \sqrt{6}) という3等分点があります。

f:id:tsujimotter:20170330220955p:plain:w600
 3P ははるか無限遠  O なので、図には現れません。

彼女と彼の点を  P としておけば、元の条件は成り立ちますね。


ところで、先の記事では  x = y = 0 を除いていましたが、ふと  X = Y = O も許しても面白いんじゃないかと思いました。

 X = Y = O なので 「彼も彼女も無限遠点にいる」ことになりますね。こっちの方が少しロマンチックな感じがしませんか?笑


無限遠点といえば、恋い焦がれる場所でもあります。

加藤先生・臼井先生というお二人の数学者の掛け合いによって生まれた、こんな川柳を思い出します。最後にご紹介して終わりにしましょう。

数学は 無限遠点 恋う心 恋うて焦がれて 遙かな旅路


それでは、今日はこの辺で。

おまけ

無限遠点で愛し合うカップルその2
togetter.com

参考文献

素数の歌が聞こえる (-)

素数の歌が聞こえる (-)

楕円曲線論入門

楕円曲線論入門

  • 作者: J. H.シルヴァーマン,J.テイト,Joseph H. Silverman,John Tate,足立恒雄,木田雅成,小松啓一,田谷久雄
  • 出版社/メーカー: 丸善出版
  • 発売日: 2012/08/25
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