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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

独習ノート「素数と2次体の整数論」#1:約数と倍数

前回からはじまった独習ノートシリーズです。テーマは「整数論」。今日は整数論で最も基本的な「1.2 約数と倍数」について学んでいきたいと思います。

教科書を1つ決めて、それに沿って tsujimotter が勉強した過程をまとめていく連載シリーズです。
本シリーズの教科書はこちら。
素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

  • 作者: 青木昇,飯高茂,中村滋,岡部恒治,桑田孝泰
  • 出版社/メーカー: 共立出版
  • 発売日: 2012/12/21
  • メディア: 単行本
  • 購入: 2人 クリック: 2回
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初回(#0):動機・諸注意
補足回(#1.5):集合の包含関係
次回(#2):Z のイデアル (1/2)

シリーズ全記事の一覧はこちら

約数と倍数

それでは、はじめていきましょう。まずは定義から。

定義 1.1
整数  a, b に対して, b = ac となる整数  c が存在するとき,「 a b割り切る」または「 b a割り切れる」と言い, a \mid b と表す.また, a b約数と呼び, b a倍数と呼ぶ.(以下略)

重要なキーワードが目白押しです。

まず、約数の定義には、割り算を使う必要がないのですよ。ここが1つポイントだと思います。
そして、掛ける(掛けられる)側の数を「約数」と呼んで、積の側の数を「倍数」と呼ぶ訳ですね。

この辺りをしっかり理解していないと、ちょっとしたことでつまづいてしまいます。

たとえば、次の定理。

命題 1.2
(2)  1 の約数は  \pm 1 の二つのみである.

これ、証明できますか?
当たり前な気もしてしまいますが、いざ証明せよと言われると難しい。漠然としたイメージだけで挑むと、どこから手をつけたら良いか分かりません。そんなときは定義に戻るのが吉。
ここでは、教科書よりやや丁寧にやってみましょう。


(証明)
 a 1 の約数とする.すなわち,定義 1.1 より、 1 = ac となる整数  c が存在する
ここで
 1 = \left|ac\right| = \left|a\right| \left|c\right|

さらに  c\neq 0, a\neq 0,すなわち,  \left|c\right| \geq 1, \left|a\right| \geq 1 より

 \displaystyle \left|a\right| \left|c\right| \geq \left|a\right| \geq 1

よって

 \left|a\right| = 1

すなわち

 a = \pm 1

複合はどちらも可であるから, 1 の約数は  \pm 1 であり,その2つのみであることが示せた.

(証明終わり)


下線を引いた部分がキーポイントですね。定義大事。


もう1つ、勘違いしやすいのが以下の命題。

命題 1.2
(3) 任意の整数は  0 の約数であり, 0 の倍数は  0 のみである.

「あれ?0って約数あるんだっけ?」などといろんな疑問が出てきますが、これも丁寧に定義を追っていけばわかります。


(証明)
 0 を使った積の性質より,任意の整数  a に対して,
 a\cdot 0 = 0
が成り立つ.

よって,約数と倍数の定義(定義 1.1)より,任意の整数は  0 の約数であり, 0 の倍数は  0 のみである.

(証明終わり)

最大公約数

続いて、最大公約数です。やはり定義から。

定義 1.4
 a_1, \ldots, a_n を整数とする.
(1)  a_1, \ldots, a_n のすべてを割り切る整数を  a_1, \ldots, a_n公約数と呼ぶ.
  また,最大公約数  \gcd(a_1, \ldots, a_n) を次で定義する.
  ・ある  i に対して  a_i \neq 0 であるとき,
    a_1, \ldots, a_n の公約数の中で最大のものを  \gcd(a_1, \ldots, a_n) とする.
  ・ \gcd(0, \ldots, 0) = 0

  特に,整数  a, b に対して  \gcd(a, b) = 1 であるとき,
   a b互いに素であるという.
(以下略)

最大公約数、互いに素という重要な概念が登場しました。早速、この2つの用語に関連する以下の問題を解いてみましょう。

問題 1.5
 0 でない整数  a, b の最大公約数を  d とするとき,  a/d b/d は互いに素であることを示せ.


(証明)
 e = \gcd(a/d, b/d) とおくと,公約数の定義より  a/d = ef, b/d = eg となる整数  f, g が存在する.
よって,  a = (de)f, b = (de)g から,  de a, b の公約数である.
一方, a, b の最大公約数が  d であるから,結局  d \geq de でなければならない. e 1 以上の整数より, e = 1 である.

したがって, \gcd(a/d, b/d) = 1,すなわち,  a/d b/d は互いに素である.

(証明終わり)


さて、以下からが今回の本題です。最大公約数を使った興味深い定理があります。

定理 1.6
整数  a, b, c に対して  ax + by = c となる整数  x, y が存在するためには,  \gcd(a, b) \mid c であることが必要十分である.

すべて整数係数で解も整数であるような方程式を「一次不定方程式」と呼んだりします。この定理では、一次不定方程式が解けるかどうかと最大公約数に関係がある、ということを主張しています。


例を挙げると、

 10x + 12y = 17
という方程式には解がありませんし、

 10x + 12y = 16
には解があります。具体的には  x = -8, y = 8 が解となります。


 10 12 の最大公約数は、

 \gcd(10, 12) = 2
であるから、

右辺の数が  2 で割り切れれば、解が存在するというわけです。

 17 2 で割り切れるし、 16 2 で割り切れない。


こうやって例を挙げていくと、「じゃあどうやって方程式の解を求めるの?」という疑問が浮かんできます。
その疑問には明確な答えがあって、(今回は登場しませんが) 1.6 節で登場する「ユークリッドの互除法」により解決されます。最大公約数と  x, y の解のいずれも、具体的に求める事が出来るのです。


ところでこの 定理 1.6

ある整数  c が与えられたときに、方程式を満たす整数  x, y が存在する

とみることができますし、逆に

整数  x, y が与えられたときに、方程式にしたがって整数  c が決まる

とみることもできます。

実はこれ、「イデアル」という言葉を使うと、スッキリまとめることが出来るのです。

これがまさに「前回予告した話」だったのですが・・・。

今回は思った以上に文章が長くなってしまったので、この辺で一旦おわりにしたいと思います。

イデアルのお話は、次回のお楽しみということで。

次回予告

次回は「1.3  \mathbb{Z} のイデアル」へと進みます。「イデアル」という言葉を使って 定理 1.6 を書き直します。

2014/1/9 追記:
次回記事を書きました!

2014/1/8 追記:
次回の前に、集合についての補足回を入れました。簡単な内容ですので、何を今更と思うようなものですが、ちらっと目を通してみてください。