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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

二次方程式の解の公式の別の見方

数学 アドベントカレンダー 代数学

この記事は 明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー の 9 日目の記事です。( 8 日目:例のレナ

アドベントカレンダーも1週間がたちました。
今日はみなさんが高校で習った(はずの)「二次方程式の解の公式」について、高校のときには教えてくれなかった「発展的なお話」をしたいと思います。「豆知識」というにはちょっと苦しいぐらい長い文章ですが、ゆったりとお付き合いくださいませ。笑


二次方程式の解の公式は、高校の数学1で覚えさせられたかと思います。暗唱してみるとこんな感じでした。

えっくすいこーるにえーぶんのまいなすびーぷらすまいなするーとびーじじょうまいなすよんえーしー

ほとんど呪文のような文字列ですが、不思議と覚えているものですね。結局のところ、次の式を丸暗記していたのです。

《二次方程式の解の公式》
二次方程式  ax^2 + bx + c = 0 の解  x は次の式で表すことができる。


 \displaystyle x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}


さて、この式は思い出してもらったとして、では導出の方法については覚えていますか?

高校流の導出方法でやるなら、 ax^2 + bx + c = 0 からはじめて、ガチャガチャと式変形していけばよいでしょう。

高校流の方法はこちらでまとめました。(気になった方はどうぞ。)
補足:二次方程式の解の公式(高校流の解き方) - tsujimotterのノートブック

でも、その方法では「なぜこのような公式が得られるのか?」についてはあまりわかりません。なんだかよくわからないまま「いつの間にか公式が導出されていた」と思った人も少なくないはずです。

たとえば、次の質問にはなかなか答えづらいかと思います。
 2 で割っているが、これはどういう意味?
・ルートをとっているのはなぜ?
・ルートの中身は何?

これらの疑問はすべて「式の意味がわからない」ということに集約されます。

今回の記事では、解の公式を「高校流とは異なる方法」で導出することにより「公式の真の理解」を目指したいと思います。


ところで上の解の公式では、二次方程式の2つの解を  \pm(プラスマイナス)を使って、無理やり1つで表現していますが、実際には2つの式ですよね。分かりづらいので、それぞれの解を  \alpha, \beta として、2つに分けましょう。

 \displaystyle \alpha = \frac{-b+ \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 \displaystyle \beta = \frac{-b- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

後の説明のために、先回りして次のように式変形しておきます。この理由はあとでわかります。

《二次方程式の解の公式(別表現)》
二次方程式  ax^2 + bx + c = 0 の2つの解をそれぞれ  \alpha, \beta とすると、これらは次の式で表すことができる。

 \displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 \displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

次の項から、この解の公式の導出を目指していきます。

解の恒等式をつくる

まず、次のような、解  \alpha, \beta について当たり前に成り立つ「恒等式」を作ることから始めます。(恒等式とは、 \alpha, \beta に何を代入しても成立する等式のことです。)

 \displaystyle \alpha = \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}
 \displaystyle \beta = \frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}

式の右辺をみると、プラスマイナスを除けばまったく同じ形をしています。

そこで、2つの式の共通部分である  \alpha+\beta, \alpha-\beta を次のような記号でおきます。

 \displaystyle L_1 = \alpha+\beta
 \displaystyle L_2 = \alpha-\beta

すると、恒等式は次のように表現できます。

 \displaystyle \alpha = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}
 \displaystyle \beta = \frac{L_1}{2} - \frac{L_2}{2}


この式をはじめて見た人にとっては「なぜこんな変形をしたのか」と思うかもしれません。この部分は、ある種の 考え方の転換点(パラダイムシフト) なので無理もないでしょう。

その背景を理解するために、回り道にはなりますが、今回の鍵となる 「対称式の基本定理」「解と係数の関係」 という2つの定理を準備しましょう。

準備1:対称式の基本定理

たとえば  \alpha+\beta,  \alpha\beta,  (\alpha+\beta)^2 のように、2つの変数  \alpha, \beta を交換しても、式の形が変わらないような式のことを「二次対称式」といいます。「交換」とは、元の式の変数  \alpha を機械的に  \beta に置き換え、元の式の変数  \beta を機械的に  \alpha に置き換えることです。特に、

 \alpha+\beta
 \alpha\beta
の2つの対称式を「二次基本対称式」といいます。

これがなぜ「基本」なのかというと、次のような大事な性質があるからです。

《対称式の基本定理》
すべての(二次)対称式は、(二次)基本対称式の四則演算で表すことが出来る。

ちなみに、今回は「二次」だけを対象としましたが、一般に  n 次でも成り立ちます。これを《対称式の基本定理》といって、ウェアリング、ヴァンデルモンドという数学者によって18世紀の後半に示されました。


この性質は非常に重要です。どんな対称式も、基本対称式によって表すことが出来るからです。やってみましょう。

 \displaystyle \begin{eqnarray} \alpha^2 + \beta^2 &=& (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta  \\ 
\frac{\alpha^3\beta + \alpha\beta^3}{\alpha + \beta} &=& \alpha\beta(\alpha + \beta) - \frac{ 2(\alpha\beta)^2 }{\alpha + \beta}  \\ 
(\alpha - \beta)^2 &=& (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \end{eqnarray}

ね。ちゃんと、 \alpha + \beta \alpha\beta の四則演算で表されているでしょう。

まとめると、

すべての対称式は、基本対称式の四則演算で表される
ということです。あまりに重要なポイントなので、大きな文字で書いてみました。

準備2:解と係数の関係

対称式と方程式の係数の密接な関係を表しているのが、もう1つの定理「解と係数の関係」です。

 \alpha, \beta の定義より、二次方程式  ax^2+bx+c=0 の解ですから、元の二次方程式の左辺は次のように「因数分解」できるはずです。

 (x-\alpha)(x-\beta) = 0
この式を展開すると、
 x^2 -(\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0
となります。

これを  ax^2 +bx + c = 0 と見比べます。比べやすいように、係数  a で割っておきます。

 \displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

係数を比較すると、次の2式が得られます。

 \displaystyle \left\{\begin{array}{l} -(\alpha+\beta)=\frac{b}{a} \\ \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{array}\right.

使いやすいように、符号を入れ替えておきましょう。これが《解と係数の関係》です。

《解と係数の関係》
二次方程式  \displaystyle ax^2+bx+c=0 の2つの解をそれぞれ、 \alpha, \beta とすると以下が成り立つ。

 \displaystyle \left\{\begin{array}{l} \alpha+\beta = -\frac{b}{a} \\ \alpha\beta = \frac{c}{a} \end{array}\right.

この関係は、1629年にアルベール・ジラールという数学者によって証明されました。彼は「代数学の新しい発明」(Invention Nouvelle en l'Algèbre) という(けったいな)タイトルの本を書いて、  n 次方程式の解と係数の関係を報告しています。


ここで覚えてもらいたい一番のポイントは、

解の基本対称式は、方程式の係数によって表される

という点です。

対称式の基本定理と合わせると、結局こうなります。

解のすべての対称式は、方程式の係数によって表される

すなわち、元々の話に戻ると、解  \alpha あるいは  \beta を、何らかの形で対称式(あるいは対称式に準ずる何か)に表すことさえ出来れば、解を係数によって表すことが出来るのです。上の結果は、目的実現のための大きな武器になります!

解の公式の導出

「対称式の基本定理」と「解と係数の関係」という2つの武器を得ました。いよいよ、解の公式の導出に向かいましょう。

上の議論より、解  \alpha, \beta の式を、どうにかして対称式によって表せば良いことが分かりました。そこで、解の恒等式に戻って、以下の式が対称式で表せるかどうか検討してみます。

 \displaystyle \alpha = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}
 \displaystyle \beta = \frac{L_1}{2} - \frac{L_2}{2}

どちらも、 L_1 L_2 によって表現されています。 L_1, L_2 の定義はこうでした。

 \displaystyle L_1 = \alpha+\beta
 \displaystyle L_2 = \alpha-\beta

ここで  L_1 は対称式ですが、 L_2 は対称式ではありません。すなわち、対称な部分とそうでない部分が存在します。


ひとまず  L_1 から考えましょう。この部分は対称式なので、そのまま解の係数によって表すことが出来ます。 \displaystyle L_1 = \alpha+\beta = -\frac{b}{a} より、

 \displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{L_2}{2}
 \displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{L_2}{2}
が得られます。


あとは  L_2 を係数で表すことが出来ればよいでしょう。残念ながら  L_2 は対称式ではありません。 \alpha \beta を入れ替えると、

 \beta - \alpha = -(\alpha - \beta) = -L_2

となって、符号が反転してしまいます。したがって、係数の四則演算で表すことが出来ません。困りました。


ここで、まだ使っていないとっておきの武器を持ち出します。その武器とは 「平方根」 です!

まず、 L_2 を二乗してみましょう。すると  L_2^2 は対称式になっていますね!

 (\beta - \alpha)^2 = (\alpha - \beta)^2 = L_2^2

 L_2^2 が対称式ということは、 L_2^2 は係数の四則演算で表されるということです。 L_2^2 の平方根をとれば  L_2 に戻ってきますから、  L_2 を係数の四則演算と平方根によって表すことが出来ます!

さあやってみましょう。

 \displaystyle \begin{eqnarray} L_2^2 = (\alpha - \beta)^2 &=& (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ 
&=& \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} \\
&=& \frac{b^2 - 4ac}{a^2} \end{eqnarray}
よって平方根をとると、
 \displaystyle L_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}

が得られました。


これを元の恒等式の  L_2 に代入すると、

 \displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 \displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

となって、解の公式が得られました。めでたしめでたし。

より高次の方程式への応用

今回紹介した方法は、ラグランジュという高名な数学者が発見した方法です。その証拠に、今回中心的な役割をした  L_1, L_2 は、ラグランジュ・リゾルベント(ラグランジュの分解式)と呼ばれています。

f:id:tsujimotter:20141209025843j:plain:w240
ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ(1736-1813)

ラグランジュは、今回の方法を二次方程式だけでなく、より高次の方程式(三次方程式や四次方程式)の解の公式を求めるために応用していきました。

実際、この方法をベースに、三次方程式や四次方程式の解の公式を求めることが出来ます。高次の方程式は、普通にやってはなかなか解けないので、一般的に、そして機械的に解くための方法を編み出したのです。

もう少しだけ言うと、ガロアという数学者が、この方法を使って「一般の五次方程式には解の公式が存在しない」ということも証明してしまいました。詳しく知りたい方は、(だいぶ難しい話になりますが)過去に私がつくったスライドをご覧下さい。

まとめ

今回のラグランジュによる解の公式の導出方法は、次の手順でまとめられます。

《二次方程式の解の公式の導出法》

1. 解を  \alpha, \beta をラグランジュ・リゾルベント( L_1, L_2)に分解して表現する。

 \displaystyle \alpha = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}
 \displaystyle \beta = \frac{L_1}{2} - \frac{L_2}{2}


2.  L_1 は対称式なので、解と係数の関係より、係数  a, b, c の四則演算で表現できる。

 \displaystyle L_1 = -\frac{b}{a}


3.  L_2 は対称式ではないので、いったん二乗して  L_2^2 をつくる。 L_2^2 は対称式なので、同様に係数の四則演算で表現できる。

 \displaystyle L_2^2 = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}


4. 最後に平方根をとれば、 L_2 が得られる。

 \displaystyle L_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}


5.  L_1, L_2 を解の分解式に戻すと、解の公式が得られる。

 \displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 \displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

これを応用すると、さらに高次の方程式でも解くことが出来たのでした。


最後に、冒頭で挙げた問いを回収してから終わりにしましょう。

 2 で割っているが、これはどういう意味?

分解式をつくるときに、足して2で割っているから。

・ルートをとっているのはなぜ?

 L_2 を対称式にするため、いったん2乗してから平方根をとったから。

・ルートの中身は何?

ルートの中身は  b^2 - 4ac ですが、これは導出過程を思い出すと、

 (\alpha-\beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha\beta

の名残りです。たしかに、二乗の部分や係数  -4 の部分などはそのまま残っていますね。


以上です。長い文章をここまで読んでくれてありがとうございます。これで、二次方程式の解の公式は一生忘れませんね!
明日話したくなった人は、ホワイトボードを使ってがっつり話してください。笑

参考文献

途中で話に出たガロアの理論はこの本が(たぶん世界一)わかりやすいです。tsujimotterはまずはこれで勉強しました。

数学ガール ガロア理論 (数学ガールシリーズ 5)

数学ガール ガロア理論 (数学ガールシリーズ 5)

分かりやすさで言えば、これもおすすめ。ガロア理論は基本的に、全体像がとらえづらいので、いろんな本を参照して見比べるのが吉です。

天才ガロアの発想力 ?対称性と群が明かす方程式の秘密? (tanQブックス)

天才ガロアの発想力 ?対称性と群が明かす方程式の秘密? (tanQブックス)