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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

補足:二次方程式の解の公式(高校流の解き方)

前回:二次方程式の解の公式の別の見方 - tsujimotterのノートブック

前回の記事で、二次方程式の解の公式についての「高校で習わない解法」について書きました。

分量の関係で「高校で習う方法」については割愛したのですが、気になった方もいるかと思います。こちらで簡単にまとめます。あちらの記事はしつこいぐらいしっかりと書きましたが、こちらは淡々と手順を進めていきたいと思います。

高校流の解き方

以下の一般の二次方程式

 \displaystyle ax^2+bx+c=0

から出発します。この式を満たす  x が存在すると仮定して、式変形によって  x を係数  a, b, c で表す式を導出します。


両辺を  a で割ります。

 \displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

両辺に  \left(\frac{b}{2a}\right)^2 を加えて、平方完成します。

 \displaystyle \begin{eqnarray} x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a} &=& \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \\
\therefore \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a} &=& \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \end{eqnarray}

両辺に  -\frac{c}{a} を加えて整理します。

 \displaystyle \begin{eqnarray} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &=& \left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} \\ 
 &=& \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{eqnarray}

両辺の平方根をとります。

 \displaystyle \begin{eqnarray} x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray}

両辺に  -\frac{b}{2a} を加えて整理します。

 \displaystyle \begin{eqnarray} x+\frac{b}{2a} &=& \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
\therefore x &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray}

できあがり!

まとめ

簡単な代数的な操作「両辺に同じ数を加える」「平方完成」「平方根」によって、解の公式を求めることが出来ました。意図的に淡々と進めましたが、もう1つの方法と比べると一つ一つの手順の意味が希薄で、少々味気ない気もしますね。