セクシー素数

この記事は 明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー の 28 日目（！？）の記事です。（ 27 日目：対数表に「素数」の表がついている？）

アドベントカレンダーまさかの限界突破に、なんと遠藤 逸ノ城さんが続いてくれました！

まさか、彼も対数表を持っていたとは。数学好きの人はみな対数表を買いたくなるのでしょうか。
そして、素数表が載っている対数表と載っていない対数表があるのですね。これは買うときは注意しないといけません。

さて、今日はまた素数に関するお話です。
私が 3 日目に書いた この記事 では、双子素数予想についての研究がアツい！という話をしました。考えてみれば「双子素数」って面白い呼び方ですよね。

復習すると、差が であるような素数の組を、双子素数と呼ぶのでしたね。実は、それ以外にも似たような名前の素数の組があるのですよ。

差が であるような素数の組は「双子素数」
差が であるような素数の組は「いとこ素数」
差が であるような素数の組は「セクシー素数」

いとこ素数は「いとこは4親等」からとっているようです。
セクシー素数は、いったいどうしてセクシーなのか。まさか「6親等」が「セクシー」なのか？いやいや、実はまったく関係なくて「6」という数字がラテン語で「sex」だから「sexy」素数なのだそうです。
じゃあ の組は何と呼ぶのか。この先が気になるかと思いますが、残念ながら、これには名前はついていないようです。

ちなみに、セクシー素数は「数学嫌いでも興味を持たずにはいられない数学用語ランキング」というランキングで堂々の１位となっています。

数学嫌いでも興味を持たずにはいられない数学用語ランキングTOP50 - gooランキング
【セクシー素数】数学嫌いでも興味を持たずにはいられない数学用語ってナニ！？【次元の呪い】 | ネタフル

セクシーと言えば、グレゴリー・チャイティンという数学者が書いた「セクシーな数学」という本が話題になりましたが、これはセクシー素数の話ではありません。笑

セクシーな数学―ゲーデルから芸術・科学まで

そもそも英題版の元タイトルは「Conversations with a Mathematician」ですから、どこにも「セクシー」などという言葉はないわけです。どっからこんな訳が出てきたのか。

セクシー素数の雑学

せっかくなので、セクシー素数についての性質を１つご紹介したいと思います。

セクシー素数の前のほうの数が、双子素数またはいとこ素数であれば、「三つ子素数」と呼ばれる組になります。数式で書くとこんな感じです。

または

セクシー素数の組が５つ連続で並ぶことがあります。これを「セクシー素数の五つ組 (sexy prime quintuplets) 」と呼びます。やはり数式で書くとこんな感じ。

実は、面白いことに、このような五つ組は、無限にある整数の中でもたった１組しか存在しません。その１つとは、こちらです。

このことは割と簡単に証明できますので、それを証明して終わりにしましょう。

（証明）
セクシー素数の五つ組は、公差 の等差数列 項と見ることが出来ます。
ここで、公差 と項数 は互いに素であることから、 項のうち少なくとも 1 つは で割り切れます。
一方 で割り切れる素数は のみです。ゆえに、五つ組は必ず を含まなければなりません。 より前に、差が になる素数はありませんから、五つ組は から始まります。そして、 は素数ではありません。
したがって、唯一のセクシー素数の五つ組は であり、これ以外には存在しません。

（証明終わり）

いかがだったでしょうか。公差 と項数 が互いに素であれば、等差数列 項のうち少なくとも１つが で割り切れる、という定理は一般に成り立ちますし、比較的よく登場するのでよかったら覚えてみてはいかがでしょう。

西暦でいうと今年 2014 年も来年 2015 年も素数ではありませんが、次に素数になる 2017 年は、2011 年との組でセクシー素数です。
それでは、次のセクシー素数である 2017 年をお楽しみに。笑

次回予告（？）

明日は taketo1024 さん が書いてくれると言っていた気がします・・・。お楽しみに。
さすがにアドベントカレンダー終わりですが、taketo1024さんの新記事はこちら。面白いのでぜひどうぞ〜♪
http://taketo1024.hateblo.jp/entry/2014/12/30/164711