等比数列の和と望遠鏡和 - tsujimotterのノートブック

横山明日希さんのこのツイートを受けて、面白い（と僕が思った）計算法を考えたので紹介します。

僕が思いついたのはこれ。

1/32を一回借りてきて、

あとはぷよぷよの連鎖のように、
どんどん消えていくかんじ pic.twitter.com/r7gfPK3Jvk
— 横山明日希（9/28新作本発売！） (@asunokibou) October 9, 2019

考えたといっても、横山さんのツイートのリプライについている解法と考え方はほぼ同じです。

$\displaystyle \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

$\displaystyle \frac{1}{16} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$

$\displaystyle \frac{1}{32} = \frac{1}{16} - \frac{1}{32}$

と置き換えるのがポイントです。

計算するとこうなります。

$\require{cancel}\begin{align} &\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \\ &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{16}\right) + \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{32}\right) \\ &= 1 + \cancel{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)} + \cancel{\left( - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)} + \cancel{\left( - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right)} + \cancel{\left(- \frac{1}{16} + \frac{1}{16}\right)} - \frac{1}{32} \\ & = 1 - \frac{1}{32} \\ & = \frac{31}{32}\end{align}$

間の項がバサバサと打ち消しあうようにするおなじみの計算を、INTEGERSのせきゅーんさんは「望遠鏡和」と呼んでいます。
integers.hatenablog.com

一般の等比数列の和の公式も、望遠鏡和で計算できることがわかりましたので、最後にやってみましょう。

ポイントは

$\displaystyle r^k = \frac{r^k}{1-r} - \frac{r^{k+1}}{1-r}$

という置き換えです。

$\require{cancel}\begin{align} &1 + r + r^2 + \cdots + r^{n} \\ &= \left(\frac{1}{1-r} - \frac{r}{1-r}\right) + \left(\frac{r}{1-r} - \frac{r^2}{1-r}\right) + \left(\frac{r^2}{1-r} - \frac{r^3}{1-r}\right) + \cdots + \left(\frac{r^n}{1-r} - \frac{r^{n+1}}{1-r}\right) \\ &= \frac{1}{1-r} + \cancel{\left(- \frac{r}{1-r} + \frac{r}{1-r}\right)} + \cancel{\left( - \frac{r^2}{1-r} + \frac{r^2}{1-r}\right)} + \cdots + \cancel{\left(- \frac{r^n}{1-r} + \frac{r^{n}}{1-r}\right)} - \frac{r^{n+1}}{1-r} \\ & = \frac{1}{1-r} - \frac{r^{n+1}}{1-r} \\ & = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}\end{align}$