2020-02-18

フェルマー数を使った素数の無限性の証明

数学整数論

今日は数論の話をしましょう。

今回の主役は フェルマー数 です。フェルマー数とは、0以上の整数 $n$ に対して

$F_n = 2^{2^n} + 1 \tag{1}$

の形をした数のことです。

$F_n$ が自然に現れる問題としては 正多角形の作図 がよく知られています。 $p$ を素数として、正 $p$ 角形が作図可能である必要十分条件が知られています。その条件は「素数 $p$ がフェルマー数であること」です。フェルマー数の形をした素数をフェルマー素数といいます。

宣伝です！！

フェルマー素数と作図の関係についての解説は、tsujimotterのノートブックの過去の記事でも紹介しています：
tsujimotter.hatenablog.com

また、私の執筆した数理科学の記事（2017年12月号）でも、丁寧に紹介しています。よろしければご覧ください。

数理科学 2017年 12 月号 [雑誌]

発売日: 2017/11/20
メディア: 雑誌

最初の5つのフェルマー数

$F_0 = 3$

$F_1 = 5$

$F_2 = 17$

$F_3 = 257$

$F_4 = 65537$

を観察すると、これがすべて素数となることに気づきます。

フェルマー数の由来となった数学者フェルマーは、フェルマー数が素数ばかりであることに驚き、この先も素数が続くことを予想していたようです。

ところが、すぐ次のフェルマー数は素数ではありません。

$F_5 = 4294967297 = 641 \times 6700417$

もっというと、この先フェルマー素数は一つも見つかっていません。2020年2月現在、307個のフェルマー数が合成数であることが調べられています。フェルマー数の列の中に、6個目もフェルマー素数を見つける試みは、大変難しいことがわかります。

今紹介したフェルマー数を使うと、なんと 素数の無限性の別証明 が得られるのです。今日はその方法を紹介したいと思います。

フェルマー数から素数の無限性が得られると聞いて、ぱっと頭に浮かぶのは「フェルマー素数の無限性」を示すという方針でしょう。フェルマー素数が無限にあることが示せれば、当然素数も無限にあるというわけです。

フェルマー素数の無限性 $\;\; \Longrightarrow \;\;$ 素数の無限性

しかしながら、フェルマー素数の無限性を示すのはとても困難です。そもそも「～〜素数の無限性」を示すこと自体、とても難しい問題です。ほとんどの場合（たとえば「フィボナッチ素数の無限性」「メルセンヌ素数の無限性」「双子素数の無限性」など）が未解決問題で、うまくいっているのは「 $an + b$ 型素数の無限性（算術級数定理）」ぐらいです。

もっと違ったアプローチが必要というわけですね。

2020-02-04

リーマン面の定義

数学解析学リーマン面

最近、寺杣先生の「リーマン面の理論」という本を勉強しています。

リーマン面の理論

作者:寺杣友秀
発売日: 2019/11/29
メディア: 単行本（ソフトカバー）

「リーマン面」についての勉強を始めたのは、「幾何が専門の人の話についていけるようになりたい」という動機からでした。そんなことを考えているときに上記の本が発売されたので、ちょうどよいタイミングだなと思いました。また、それとは別に「リーマン面」と「数論的な現象」の間に接点があるそうで、これについても理解したいなという思いがあります。

一方、tsujimotterはこれまで位相空間論や多様体の勉強をほとんどしてこなかったので、理解するのにだいぶ苦労しています。進捗は遅そうですが、少しずつでも読み進めようと思っています。

第一段階として、自分自身の理解の確認のためにリーマン面の具体例を構成していきたいと思っています。今回はその前段として「リーマン面の定義」を丁寧にまとめていきたいと思います。

なお、今回の記事では「わかりやすく伝える」という意図はあまりなく、ただただ実直に定義を理解しようという考えで書いています。その点はご理解ください。

2020-01-01

#2020になる数式（マニアック編）：判別式-2020の2次形式

数学素数素数と２次体の整数論日曜数学整数論

2020年最初に作ったアプリが、おかげさまでたくさんの方にみてもらえているようです。

「2020」という数は、

・2つの平方数の和
・3つの平方数の和
・連続する4つの素数の平方数の和
・10連続偶数の平方和

でそれぞれ表せる数らしいので、その性質を可視化するページを作ってみました！#2020になる数式 #大晦日ハッカソン

Interesting properties of 2020.https://t.co/FT2DFTP0XO pic.twitter.com/fxZKJi5Fv9
— tsujimotter (@tsujimotter) 2019年12月31日

上のアプリを公開後も、tsujimotterは「2020に関する数学トピック」についてあれこれ考えていました。今回紹介したいのは「2次形式で表せる素数」のお話です。上の話と比べると、かなり前提知識が必要な話なのですが、よろしければお付き合いください。

2020-01-01

#2020になる数式について考えてみた

数学日曜数学素数と２次体の整数論整数論

明けましておめでとうございます！

いよいよ 2020年ですね。2020年といえば、だいぶ前から話題に上がっていたオリンピックイヤーがいよいよやってきたという感じですが、今年はどんな一年になるのでしょうか。良い年にしていきたいですね。

2020年になったということで、毎年恒例の「年号の数についての数式」を考えたいと思います。題して

「#2020になる数式」

です。

Twitterで #2020になる数式のハッシュタグを検索してみると、いろいろな数式が出てきますので、よろしければご覧になってみてください。

#2020になる数式 hashtag on Twitter

今日はtsujimotterが見つけた数式の紹介と、その数式を可視化するWebアプリを作ったのでご紹介したいと思います。

過去の年号の数式については、他の方がまとめてくれたものがありました。よろしければこちらもどうぞ：
2016になる数式まとめ - Togetter
2017を数学的に遊びたおすまとめ - Togetter
2019年新春数学・パズル問題、2019にまつわる性質まとめ - Togetter

2019-12-29

指数層系列(3): 層係数コホモロジー

数学解析学指数層系列層

今回は「指数層系列」シリーズの最終回の記事です。これまでシリーズを通して

$0 \to 2\pi i \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \xrightarrow{\exp} \mathcal{O}^\times \to 0$

という層の短完全列について議論してきました。

指数層系列シリーズの記事は、こちらのタグから読むことができます：
tsujimotter.hatenablog.com

前回の記事の最後では、指数層系列に対して任意の開集合 $U$ についての切断をとると、必ずしも完全列がそのまま成り立つとは限らないこと（ $\exp$ が必ずしも全射にはならない）を説明しました。次のように、完全列としては一番右端が 0 になるとは限りません：

$0 \to 2\pi i \mathbb{Z}(U) \to \mathcal{O}(U) \xrightarrow{\exp} \mathcal{O}^\times(U)$

$\exp$ が全射になるのは、開集合 $U$ がどのような条件のときか？　これが今回考えたい問題です。

実は、この問題を考えるにあたって「層係数コホモロジー」という道具が非常に有効です。

そんなわけで、今回の記事では層係数コホモロジーについて、その定義から使い方までをまとめたいと思います。

シリーズ記事の一環として書いていますが、一般的な層係数コホモロジーの話を展開しますので、指数層系列の記事を読んでいる必要はありません。単純に層係数コホモロジーについて知りたい、という人もぜひ読んでください。

ただし、層の定義についての知識は必要かと思いますので、以下の記事の内容を前提としたいと思います。
tsujimotter.hatenablog.com

また、前回までの記事は、わかりやすさのため「 $\mathbb{C}$ 上の層」を考えていました。今回は、一般に「 $X$ を位相空間」として、その上の層を考えたいと思います。

途中で出てくるコホモロジー長完全列のところでは「 $X$ をパラコンパクトな位相空間」に限定していますが、またそのときに改めて注意します。

今回の記事はtsujimotterがまさに勉強中の「理解の最前線」を書いている記事となっています。内容もできる限り正しい記述になるよう努めたつもりですが、私の理解不足により誤りを含んでいる可能性があります。
勉強する際は、私の記述をうのみにせず参考文献をご参照いただければと思います。参考文献は一番下に書いています。

それでは少し長いですが、お付き合いください。

2019-12-26

指数層系列(2)：層の短完全列

数学解析学指数層系列層

前回、指数関数の３つの素朴な性質から

$0 \longrightarrow 2\pi i \mathbb{Z} \xrightarrow{\;\;i\;\;} \mathbb{C} \xrightarrow{\exp} \mathbb{C}^\times \longrightarrow 0 \tag{5再掲}$

$0 \longrightarrow 2\pi i \mathbb{Z} \xrightarrow{\;\;i\;\;} \mathcal{O}(U) \xrightarrow{\exp} \mathcal{O}^\times(U) \tag{7再掲}$

なる２つの短完全列が得られることを紹介しました。

指数層系列シリーズの記事は、こちらのタグから読むことができます：
tsujimotter.hatenablog.com

本シリーズタイトルの指数層系列とは、上の短完全列を層の間の短完全列に伸ばしたものです。今日は、層の理論をまとめつつ、指数層系列を得るところまでいきたいと思います。

最初のうちは、上記の話を単に層の言葉で表せばよいだけと思っていました。ところが、勉強していくうちに、そこまで単純な話ではないということに徐々に気づいてきました。私自身、正しい理解に大変苦労しまして、記事の内容も二転三転しています。その辺の戸惑いやそれを乗り越えて理解したときの感覚などは、なかなか本には載っていない部分と思います。その辺をできるだけ残そうという趣旨で書いています。参考になれば幸いです。

それでは少し長いですが、お付き合いください。

2019-12-24

素数大富豪のレーティングに関する提案

素数アドベントカレンダー素数大富豪数学

素数大富豪 Advent Calendar 2018 の24日目の記事です。

本記事は、素数大富豪 Advent Calender 2018 の24日目の記事として、素数大富豪プレーヤーのレーティングを算出する手法について、筆者による提案手法を紹介したいと思います。また、その手法を用いて過去の大会における結果を元にレーティングを算出しましたので、その結果も合わせて紹介したいと思います。

本内容は元々「素数大富豪研究会*1」というところで発表した内容の焼き直しとなっています。その関係で少し学術的な議論を意識した構成になっております。普段と文体が変わるかと思いますが、あらかじめご了承ください。

*1:[1] 素数大富豪研究会