2020-07-06

具体例を通して学ぶ虚数乗法論（後編）

数学虚数乗法楕円曲線具体例を通して学ぶ虚数乗法論シリーズ

tsujimotter.hatenablog.com

昨日に引き続き「具体例を通して学ぶ虚数乗法論」のお話後編です。

2020-07-05

具体例を通して学ぶ虚数乗法論（前編）

数学虚数乗法楕円曲線具体例を通して学ぶ虚数乗法論シリーズ

こんにちは！　日曜数学者のtsujimotterです！

早いもので、日曜数学者と名乗り始めてから5年半が経ちました。その間、色々な数学を勉強して、成長もしてきたと思います。昔憧れた、名前しかしらなかった高度な理論も、だんだんと理解できるようになってきました。このことは、最近特に実感しています。

今回のテーマである虚数乗法論も、初期の頃から興味を憧れを抱いてきました。

最初に気になったきっかけは、この記事でした。今から6年も前の記事ですね（日曜数学者と名乗り始めるより前の記事です）。
tsujimotter.hatenablog.com

あれから勉強が進んできて、理論についてまとめようと試みた記事もありました：
tsujimotter.hatenablog.com

しかしながら、上の虚数乗法論シリーズは未完のままです。当分続きは書けそうにありません。

大きな理論をまとめるのは大変だというのが理由の一つです。もう一つの理由は、そもそも楕円曲線の一般的な定義など、下準備をするのが大変だったというところにあります。

そこで考えたのですが、理論を体系的にまとめるのではなく、何か具体例を決めて、それを紹介するというのもよいのではと思いました。

題して「具体例を通して学ぶ虚数乗法論」です。

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また、虚数乗法論はガロア理論・類体論・楕円曲線論を前提とした高度な理論なので、一般論を展開していくと難しくなりがちです。

難しい話は読者を選ぶのも事実です。けれども、やっぱり理論の内容は面白いので、もっと多くの人に知ってもらいたい。その面白さ・美しさを伝えられるようになりたい。その意味でも、具体例があった方が読んでもらいやすいはずだと思いました。

今回の記事は、以下のような構成で進めたいと思います。コンピュータの手を借りて具体例を計算しつつ、虚数乗法論のある意味「花形」の一つであるクロネッカーの青春の夢に向かう話を展開したいと思います。

2020-06-28

たけちゃん先生の問題の裏に潜む「未解決問題」

数学日曜数学自由研究・独自研究

先日、ロマンティック数学ナイトオンライン（以下、ロマ数）というイベントに出演しました。
wakara.co.jp

そのイベントの報告はまたいずれしたいと思いますが、今日はそのイベントで竹内英人先生（以下、たけちゃん先生）がされた発表についてのお話です。

たけちゃん先生の話を聞いているうちに、問題を拡張したら面白くなるのでは、というアイデアが浮かんできて、それについて考えているうちに面白くなってしまいました。今日はそのことについて紹介したいと思います。

実は、今回の内容は、本日まさに今開催の第18回日曜数学会で発表する内容となっています。よろしければ、発表と一緒にお楽しみください。
live2.nicovideo.jp

2020-06-25

分数の足し算で「約分」が発生する条件(3)

数学整数論日曜数学自由研究・独自研究

最近、頭の中が「分数の足し算」でいっぱいなtsujimotterです。こんにちは。

前回・前々回の記事から引き続き、分数の足し算の話題です。過去記事はこちらをご覧ください：
tsujimotter.hatenablog.com
tsujimotter.hatenablog.com

さて、これまで分数の足し算 $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ において、素数 $p$ で約分できる条件について考えてきました。前回はp進展開を用いた見方を与えました。

今回はより簡潔に判定できる考え方を教えていただきましたので、それを紹介したいと思います。といっても、原理はp進展開の場合と同じです。

さらに考えを推し進めると「 $p$ で割れるか」だけでなく「 $p^k$ で割れるか」についても議論できることに気づきましたので、それについて紹介します！

2020-06-19

分数の足し算で「約分」が発生する条件(2)

数学日曜数学整数論自由研究・独自研究

早速ですが、昨日の記事の続きです。
tsujimotter.hatenablog.com

前回の記事では、分数の足し算

$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d}$

の計算で約分が発生する条件について考えました。特に、結果の分母・分子が素数 $p$ で約分されるならば、 $b, d$ が $p$ で割り切れる回数 $v_p(b), v_p(d)$ は

$\displaystyle v_p(b) = v_p(d) > 0$

であることを示しました。

今回はもう一歩踏み込んで、 $p$ 進数的な視点を取り入れて、約分できる条件について考えたいと思います。

今回の記事の内容は、前回の記事公開後に nishimura さんという方から教えていただいた内容になります。いつも面白い話を教えていただいてありがとうございます！

2020-06-18

分数の足し算で「約分」が発生する条件

数学整数論日曜数学自由研究・独自研究

こんにちは！　日曜数学者のtsujimotterです！
今日は分数の足し算について考えたいと思います。

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きっかけは学生のプログラミング課題でした。

tsujimotterは大学でPythonとC言語を教えているのですが、ある日の課題で「分数の足し算を計算する関数を作れ」というものがありました。時間差はありましたが、PythonとC言語の両方で似たような課題が出たのです。

実際、分数の足し算を一般に計算してみると

$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \tag{1}$

なので、あとは結果として得られた分数を約分してあげればよいわけです。

無事、関数を作ることはできたのですが、問題なのはその関数のテストです。関数がうまく動作することをテストするためには、分数の結果が約分されるような例を作らなければなりません。

ところがです。適当なテストケースを考えたのですが、どのケースもなぜか約分されない。。。tsujimotterはこの手の計算が大の苦手で、約分が発生するケースを作ることができませんでした。

頭が働いていないので、約分が必要な分数の足し算の例が思いつきません。何かいい例ないですか？
— tsujimotter (@tsujimotter) 2020年6月1日

良い方法がないかと考えているうちに、「約分が発生する必要十分条件を数学的に与えればよい」ということに気づきました。

そこで、今日は分数の足し算の計算において約分が発生する条件について考えてみたいと思います。

今回の知識は、小学校の先生の作問にも役に立つかもしれません。

2020-06-13

13, 613, 20200613は合同数

数学合同数楕円曲線

こんにちは！　今日の日付は 2020/06/13 ですが、20200613 は素数ですね！

さらにいうと、20200613は「4で割って1あまる素数」でもあるわけですね。いやーじつにめでたい！

上記の事実は、大人のための数学教室を経営している「和から株式会社さん」のTwitterアカウントで知りました。

今日は6月13日。
弊社講師の岡本は久しぶりの素数日だ！と雨にも関わらずテンション上がっています。

岡本「20200613は4で割って1余る素数ですよ！三平方の定理の組になりますよ！タイムリー！」 pic.twitter.com/2Xs1tAu8O9
— 和から@大人のための数学・統計教室 (@wakara_nagomi) 2020年6月13日