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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

(小ネタ)恋する無限遠点

Aさん「私はBくんのことが大好き!」
Bくん「僕はその100倍好き!」
Aさん「じゃあ私はその1000倍好き!」
俺「y=100x,x=1000yだからx=y=0」

というネタがツイッターで流れてきたので、私も乗っかりたくなりました。

普通に実数上で上記の式を考えてしまうと  x = y = 0 になってしまうわけですが、たとえば  \bmod{m} とかで考えれば別の解が存在することになりますね。

以下のページで詳しく書いてありましたので、ご紹介します。

私はあなたのことがこんなに好き! - ぷりんの雑記帳


さて、私の方はというと、これを「楕円曲線」で考えたくなったというわけです。

楕円曲線  E 上の任意の点には、自然に「加法(+)」という演算を入れることができて「アーベル群」をなします。この場合の単位元  O は「無限遠点」になります。

加法を  n 回繰り返せば  n 倍という写像も自然に定義できます。

 P + P + \cdots + P \overset{\mathrm{def}}{=} n P

また、 nP O に一致するとき、 P を楕円曲線  n 等分点といいます。 n 回繰り返すと戻ってくるということですね。こんな風に戻ってくる点もあれば、二度と戻ってこない点もあります。戻ってくる点のことを「ねじれ点」と言ったりもします。


さて、先の問題に話を戻すと、彼女の愛情を点  X とし、彼の愛情を点  Y とします。楕円曲線では  100 倍とか  1000 倍とかを考えることができますから、先ほどの記事と同じ議論ができますね。

結果的に、3倍か41倍か271倍して  O になる、等分点を持つような楕円曲線を見つけてくればいいわけですね。

たとえば、

 Y^2 = X^3 - 2

という曲線を考えて、この曲線に無限遠点を加えると楕円曲線になります。これを  E とすると、 E にはたとえば  (2, \sqrt{6}) という3等分点があります。

f:id:tsujimotter:20170330220955p:plain:w600
 3P ははるか無限遠  O なので、図には現れません。

彼女と彼の点を  P としておけば、元の条件は成り立ちますね。


ところで、先の記事では  x = y = 0 を除いていましたが、ふと  X = Y = O も許しても面白いんじゃないかと思いました。

 X = Y = O なので 「彼も彼女も無限遠点にいる」ことになりますね。こっちの方が少しロマンチックな感じがしませんか?笑


無限遠点といえば、恋い焦がれる場所でもあります。

加藤先生・臼井先生というお二人の数学者の掛け合いによって生まれた、こんな川柳を思い出します。最後にご紹介して終わりにしましょう。

数学は 無限遠点 恋う心 恋うて焦がれて 遙かな旅路


それでは、今日はこの辺で。

おまけ

無限遠点で愛し合うカップルその2
togetter.com

参考文献

素数の歌が聞こえる (-)

素数の歌が聞こえる (-)

楕円曲線論入門

楕円曲線論入門

  • 作者: J. H.シルヴァーマン,J.テイト,Joseph H. Silverman,John Tate,足立恒雄,木田雅成,小松啓一,田谷久雄
  • 出版社/メーカー: 丸善出版
  • 発売日: 2012/08/25
  • メディア: 単行本
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3月14日 #みらいけん数学デー で数学書限定ビブリオバトルしてきた

3/14 は「πの日」そして「数学の日」ですが、そんな数学にまつわる日に開催された #みらいけん数学デー というイベントに参加してきました!

イベント詳細はこちら:
www.shosen.co.jp

日曜数学会のキグロさんが主催で、書泉グランデさん共催というものです。
(書泉グランデさんは、会場のみらい研究所のすぐそばなんですね。これは4階の数学書コーナーで買ってしまいそう!)

数学史家の高瀬先生の講演や素数大富豪など、盛りだくさんなイベントでした。私も「数学書限定のビブリオバトル」に参加させていただきました。

せっかくなので、このブログでもビブリオバトルの準備で用意した私の発表の原稿(当初しゃべる予定だった内容)をご紹介したいと思います。

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ベイカーの定理と類数1の虚二次体の決定

類数1の虚二次体 は完全に決定されていて,虚二次体を  \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) として

 d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163

9 つだけであることが知られています。これがベイカー・スタークの定理です。

今日はこの定理の「ベイカーによる証明」をご紹介したいと思います。

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類数公式とデデキントのゼータ関数

ゼータ関数強化月間 第2弾 として,今日は

「デデキントのゼータ関数」

を紹介したいと思います。

デデキントのゼータ関数によって「類数」が求まる 「類数公式」 についてお話したいと思います。

証明の流れが非常に面白いので,そのあたりを楽しんでいただければと思います。

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ゼータ関数の行列式表示

最近「ゼータ関数」の話はこのブログで書いておらず,しばらくご無沙汰でした。最近学んでいる理論を調べているうちに「ゼータ熱」が再燃してきました。

啓蒙書でお話程度に聞いていて「抽象的でよくわからないなぁ」と思っていた対象が,だんだんつかめてきて面白く感じてきたのです。

今日は、そんな「ゼータ関数」に関するトピックの中から「行列式表示」に関するお話をしたいと思います。


「ゼータ関数」「行列式」とは、少々意外な取り合わせに見えますね。でも、このへんがつながってきたら面白そうに思えませんか。

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「57 は 3 で割れ切れる」の別証明(したかった)

2017/02/04:
こちらの記事の計算に誤りがあることが発覚しました。今は手が離せないので,また後ほど訂正いたします・・・。

2017/02/05:
上記の誤りについてですが,たしかに誤りであることが確認できました。どの箇所が誤っているかについて,末尾の「追記」に詳しくまとめました。


57 という数は「グロタンディーク素数」と呼ばれています。グロタンディークという高名な数学者が「57 を素数と間違えた」というエピソードに由来しています。

このエピソードは,私のブログでも紹介したことがありました。
tsujimotter.hatenablog.com


上の記事でもご紹介した通り, 57 という数は,実際は  3 で割り切れるのです。だから,素数ではありません。

一方で,この数が  3 で割り切れることを示すのは難しいのでしょう。あのグロタンディーク先生が間違えたのですから。

実際,「 57 3 で割り切れる」を示すためには, 57 3 で割り算しなければいけません。割り算です。きっと難しいに決まっています。


そこで今回の記事では,実直に割り算するのではなく,もっと別の方法で「 57 3 で割り切れる」を示すことを試みたいと思います。

今日紹介するのは 57 3 で割り切れる」別証明 です。


使う道具は,虚二次体の類数 です。

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パッと見素数 "91" を素数判定に活用する

91 という数は、見た目が素数っぽくてつい間違えてしまうという

「パッと見素数」

です。
motcho.hateblo.jp


素数と間違えやすいので、たとえば素数を使ったカードゲーム*1においては、間違えて悔しい思いをした方もいるかもしれません。

「いやな数」と思われがちな 91 ですが、tsujimotterとしてはどんな数でも好きになってもらいたい。

そんな風に考えていたかどうかはさておき・・・

もしかしたら 91 が素数判定で活躍するかもしれない というアイデアを得ましたのでご紹介します。

*1:たとえば、「素数大富豪」という素晴らしいトランプゲームがあります。 integers.hatenablog.com

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