tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

子どもの保育園選びにAHP(階層分析法)を使ってみた話(の数学パート解説)

本記事は日曜数学 Advent Calendar 2023の1日目の記事です。


ご無沙汰しています。日曜数学者のtsujimotterです。

2022年12月に子どもが生まれまして、そこからブログや動画の投稿が滞っていたのですが、アドベントカレンダーの季節ということで久しぶりに復活しました。*1


今年も日曜数学アドベントカレンダーを立ち上げました。
adventar.org

明日話したくなる数学豆知識 (2014)から数えると、なんと 10年目 です。

今年の分も、おかげさまでブログ執筆時点で21件の方が登録してくれています。記事が投稿されるのを楽しみにしています!

残りの枠についても、よろしければご参加いただけると嬉しいです!

*1:本当にアドベントカレンダーぶりの投稿でした・・・。

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2022年の日曜数学活動:YouTubeを始めました!

日曜数学 Advent Calendar 2022 の最終日の記事です。

メリークリスマス!!

毎年恒例の日曜数学Advent Calendarは、2022年も実施することとなりまして、こちらの記事はその最終日の記事です。
adventar.org

おかげさまで、(初日を除いて*1)毎日記事が埋まりました!

今年はこれまで以上に気合が入った記事が多く、毎日楽しく読ませていただきました。ご参加いただきまして、ありがとうございます!!


今回の記事のテーマは、2022年の振り返り なのですが、2022年のtsujimotterは特に「YouTubeでの動画投稿」を頑張りましたので、その活動について紹介したいと思います。

*1:初日に登録された方へ:もし、今後書く予定がありませんでしたら、キャンセルいただけたら他の方が記事を書くことができて楽しいかもしれません。

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エルキースによるオイラー予想の反例:2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4

こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。

よろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください!

フェルマーの最終定理の  n = 3 のケース

 X^3 + Y^3 = Z^3 \tag{1}

に自然数解が存在しないことは、オイラーによって証明されていました。

オイラー自身は、この式の指数と変数の個数を1個ずつ増やした

 X^4 + Y^4 + Z^4 = W^4 \tag{2}

 X^5 + Y^5 + Z^5 + W^5 = V^5 \tag{3}

にも、同様に解がないことを予想しました(1769年)。以降もずっと指数と変数を増やして行っても同様に解がないと予想していたようです。割と自然な発想ですよね。


一見すると式  (2), (3) には自然数解がなさそうなので、長い間解がないと信じられていました。

ところが、1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって、式  (3) の解が発見されたのです:

 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 \tag{4}

この発見によってオイラー予想は間違っていることが示されたわけです。

次がそのランダーとパーキンの論文なのですが、1ページで完結する論文 ということで有名です。

こうなってくると、式  (2) の方も怪しく見えてきます。実際、この  (2) の解の探索が多くの研究者によって試みられました。そして、ついに1988年に天才数学者、ノーム・エルキースによって解が発見されたのです。

それが次の解でした:

 2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4 \tag{5}

さらに言えばエルキースはこの解だけではなく、無限個の(互いに素な)解を見つける方法を得ています。


今日は、このエルキースの解がどうやって見つけられたのか、その手法を紹介したいと思います。たぶん、これについて詳しく書かれた日本語の記事はそう見つからないと思います。

実際、この解を発見するための方法は、楕円曲線とコンピュータを使ったかなり難解な方法でした。以前から興味を持っていたのですが、きっと僕にはわからないだろうと諦めていました。ですが、思い立って原論文に当たってみたところ、意外と読めてしまったのです。

そんなわけで今日はエルキースの方法について、その概要を紹介したいと思います。細かい部分は理解できているわけではないので、原論文をあたってください。

ぜひ最後までご覧ください。

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リウヴィルの示した「初等整数論の」面白い定理について

今日は、次の等式

 (1 + 2 + 2 + 4)^2 = 81 = 1^3 + 2^3 + 2^3 + 4^3 \tag{1}

についてです。

こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。

よろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください!


この式だけ見せられても

「ほぉ、なるほど。足したものを2乗したものと、3乗してから足したものが【たまたま】一致する等式なんですね。面白いですね。」

となるわけですが・・・。


実はこの式、次のように一般的に求められる式なんです!


 n = 10 とします。
 10 のすべての約数:  1, \; 2, \; 5, \; 10
② ①のそれぞれについて約数の個数を数える:  1, \; 2, \; 2, \; 4
③ ②で得られた数列を足して2乗したもの(左辺)と、3乗してから足したもの(右辺)が一致する


なんと、これは任意の正の整数  n について成り立ってしまうのです!!

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極大超プーレ数とフェルマー商の素因数分解

超プーレ数  m があったとき、その約数  d は定義より 超プーレ数・素数・1 のいずれかです。

超プーレ数に対してその約数が多ければ多いほど、多くの超プーレ数を内部に持つことになります。今回は「約数をできるだけ多く持つような超プーレ数」を考えたいと思います。

プーレ数や超プーレ数の定義、基本的な性質についてはこちらの記事で紹介しています:
tsujimotter.hatenablog.com


すなわち、次のような定義が自然に思いつきます。

定義(極大超プーレ数)
超プーレ数  m に対して、 m より大きな超プーレ数  M であって  m \mid M なるものが存在しないとき、 m極大超プーレ数(maximal super-Poulet number)といいます。

つまり、これ以上親がいないような、極大の親玉であるような超プーレ数のことを指すわけですね。

ちなみに「極大」は "maximal" の訳語です。"maximal super-Poulet" に対応する日本語訳が定着していないので私がオリジナルでつけた訳語となります。

"maximal" の訳として「最大」も候補に挙がるのですが、すべての超プーレ数の中で一番大きいわけではないので適切ではないように考えています。

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プーレ数の平方因子とヴィーフェリッヒ素数

前回に引き続き「超プーレ数」の話題です。今朝投稿されたばかりの次のYouTube動画に関する話題について、ブログでもより深く解説してみたいと思います。


前回紹介したときに現れた超プーレ数の例は

 341 = 11 \times 31
 1387 = 19 \times 73
 2047 = 23 \times 89
 2701 = 37 \times 73
 3277 = 29 \times 113

のように、平方因子を持たないものばかりでした。果たして、平方因子を持つような超プーレ数は存在するのでしょうか?

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