tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

エラトステネスの篩を数式で表すと・・・?

素数の一覧表を作るときに、一個一個の数を素数かどうか判定していくのもよいですが、もう少し効率的に行う方法があります。その方法の一つが エラトステネスの篩(ふるい) です。 エラトステネスの篩は、情報系の大学生であればプログラミングの演習等で一…

「2pがトーシェントであること」と「pがソフィー・ジェルマン素数であること」は同値

今朝投稿されたYouTube動画 youtu.beにて、( は素数)の形の数がトーシェントである条件が、ソフィー・ジェルマン素数に関係するという非常に興味深い定理を紹介しました。定理 を素数とすると,次が成り立つ: がトーシェント はソフィー・ジェルマン素数…

(987654321-1)/(123456789+1) がちょうど 8

最近、タイムラインでという話をよくみかけます。とても面白い現象ですね。 この問題については、id:egory_cat さんのブログにて、一般の 進法に対して証明が与えられています。 egory-cat.hatenablog.com ブログを拝見させていただきましたが、とても面白か…

群論的に干支を考える:十二支と十干はなぜ60年で戻るのか?

みなさん明けましておめでとうございます!年が明けたということで、みなさん今年の干支はご存知ですか? そうです壬寅(みずのえとら) ですね!! 「え、寅年でしょ?」と思った方。もちろんそれで正解なんですが、少しだけ話を聞いてください。実は、干支…

数学者の名前がついた素数

今回の記事では、数学者の名前がついた素数 について紹介したいと思います。名前を紹介するだけではなく、その由来となった数学的背景を簡単に紹介する記事になっています。素数は のように数がただ並んでいるだけに思われるかもしれません。しかしながら、2…

合成数のときのウィルソンの定理

突然ですが、100の階乗を101で割ったあまり を考えてみましょう。実際、計算しようと思うと大変ですがとなります。これを で割ったあまりは、ちょうど になります。ほかにも、 はであり、これを で割ったあまりは となります。 実はこれ、一般に成り立つ話な…

【あけおめ】2022を素因数分解しよう

あけましておめでとうございます!今年も楽しく日曜数学して、その様子を発信していきたいと思いますので、どうぞよろしくお願いします! ぜひ一緒に日曜数学しましょう! 2022年最初の記事では2022を素因数分解してみたいと思います! もちろん、素数チェッ…

カレンダーの上の素数 〜素数には毎年出会えるか?〜

日曜数学 Advent Calendar 2021 の最終日の記事です。 今日は日曜数学 Advent Calendar 2021 の 最終日 の記事です。そんなわけで、12月1日から始まった日曜数学アドベントカレンダーも、今日で終わりです!おかげさまで、なんと25日間すべての記事が埋まり…

電子計算機を使わないで発見された最大の素数 (2^148+1)/17(Ferrierの素数)

日曜数学 Advent Calendar 2021 の17日目の記事です。 今日はという数について考えたいと思います。この数、桁数が 44桁 もある巨大な数なのですが、なんと 素数 であることが分かっています。1951年に素数であることが証明されたのですが、面白いことに電子…

フィボナッチ数の逆数和がテータ関数を使って表せるという話

今日のテーマは フィボナッチ数 です。またかと思われるかもしれませんが、最近たしかにフィボナッチ数の話が多いですね。 今日の切り口は、フィボナッチ数の逆数和 です。特に、奇数番目のフィボナッチ数の逆数和について考えたいと思います。 式 の和を100…

小数展開にフィボナッチ数列 etc. が出てくる分数(後編)

日曜数学 Advent Calendar 2021 の2日目の記事です。 昨日の記事の 後編 として、小数展開に色々な数列が登場するような分数を生み出していきたいと思います! さてここで問題です!以下の4つの分数は、それぞれどんな数列が出てくる分数でしょうか? (答…

小数展開にフィボナッチ数列 etc. が出てくる分数(前編)

日曜数学 Advent Calendar 2021 の1日目の記事です。 アドベントカレンダーの季節がやってまいりました。今年も日曜数学アドベントカレンダーを立てまして、この記事はその1日目の記事となっています。 adventar.org日曜数学アドベントカレンダーは、今年で …

循環小数とアルティン予想

これまでtsujimotterのノートブックでは、循環小数についていろいろな話題を紹介してきました。今日はとっておきのトピックとしてアルティン予想 という 未解決問題 について紹介したいと思います。これまでの記事はこちらから見ることができます: tsujimot…

ガウス流・循環小数計算法

循環小数熱が再燃してきまして、いろいろ調べている中で面白い話を見つけました。かの有名な天才数学者ガウスは、こんなやり方で循環小数を計算していたそうです。今回の記事の出典は、参考文献に挙げた「近世数学史談」です。 たとえば、 という数を循環小…

(自由研究)1/p^k型循環小数のフルサイクル性について

今日はのような 「素数のべき乗分の1」の形の循環小数 について考えたいと思います。 実際、上記の小数を計算してみるととなり、 は 42桁、 は 294桁 と、たいへん長い循環節を持つことがわかります。これは後で見るように周囲の循環小数と比べてもかなり長…

「隣り合う立方数の差」はどのような素数で割り切れるか?

今日は久しぶりに数学の話題を。もりしーさん( @9973_prm )の以下のツイートの話が面白かったので、今日はこの問題について考えてみたいと思います。立方数と立方数の差って大体素数じゃん、って思ったけど5^3と6^3の差がまさかの91でわろた— もりしー@素…

動物の目は「微分」を活用している

「数学は役に立つのか?」「微分や積分は役に立つのか?」というのは、たびたびSNS上で目にする話題ですね。もちろん、人間社会において、さまざまな場面で数学や微分・積分が役に立っているのはみなさんよくご存知かと思います。今日紹介したいのは、人間が…

色と対称性:銅錯体の色のしくみ(後編)

銅錯体が青いのはなぜか。その化学的な理由を突き止める記事 後編 です。今回はいよいよ 群論 が登場します! 「対称性」を使って色の仕組みがどのように理解できるのか!?前編の内容を前提に進めますので、ご覧になっていない方はまずはこちらをご覧くださ…

色と対称性:銅錯体の色のしくみ(前編)

今日考えたいのは 銅錯体 についてです。硫酸銅は2価の銅イオン と硫酸イオン のイオン結晶 です。これ自体は白い粉なのですが、水に溶けると 青色 に呈色します。飽和量以上の硫酸銅を加えると結晶が析出しますが、その結晶の色も綺麗な 青色 となります。…

植物の葉の色はなぜ緑色か?

夏です。木々の緑が鮮やかな季節がやってきました。 [tsujimotterの母校、北大にて撮影]植物の葉を眺めてると、私はいつもこんな疑問を思い浮かべます。どうして緑色なのだろうか? 色は、私たちは幼い頃から知っている身近な存在です。その一方で、とても神…

日曜化学(3):分子軌道法と可視化(Python/matplotlib)

いよいよ 分子軌道 を計算してみたいと思います。今回の記事の内容を理解するとエチレンやブタジエンやベンゼンなどの分子軌道が計算でき、それをPythonのプログラムで可視化できるようになります。これまで3回に渡って書いてきた「日曜化学シリーズ」の記…

日曜化学(2.5):メトロポリス・ヘイスティングス法を用いた電子雲の可視化(Python/matplotlib)

前回の記事で、水素原子の電子雲の可視化する方法として、3つの方法を紹介しました。 tsujimotter.hatenablog.com 特に、方法2「散布図としてプロット」については、棄却サンプリング法を使った方法を紹介しました。散布図としてプロットするにあたって、…

日曜化学(2):3次元空間における電子雲の計算(Python/matplotlib)

2日前に公開した量子力学に関する記事なのですが、たくさんの方に見ていただいて嬉しいです。Twitter上でもたくさんの嬉しいコメントをいただきました。 tsujimotter.hatenablog.com今日は続きとして、電子雲の可視化 をしたいと思います。 前回の記事では…

日曜化学:量子力学の基本と球面調和関数の可視化(Python/matplotlib)

最近、とある興味 *1 から量子力学(とりわけ量子化学)の勉強をしています。水素原子の電子の軌道を計算すると、s軌道とかp軌道とかd軌道とかの計算が載っていて、対応する図が教科書に載っていたりしますよね。こういうやつです: Wikipedia「球面調和関数…

位数6の群の分類

私がスタッフとして携わっている日曜数学会というイベントが、今月の20日に 6周年 を迎えます。めでたいですね。また、先日私の年齢も 歳になりまして、つまり というわけですね。ダブルでめでたい(?)。せっかくなので、何か にまつわる発表をしたいなと…

(a○+b)×(a△+b)=(a□+b)になるa,bの条件と中国剰余定理

数学ファンの鯵坂もっちょさんがツイートしていた問題が面白かったので、今日はその問題について考えてみたいと思います。あれ、もしかしてan+b(a,b,nは自然数、a,bは互いに素)型の数が積で閉じてるのってb=1のときだけか— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2021年…

フェルマー商

今日は整数論の面白概念の一つである フェルマー商 を紹介したいと思います。 まず、フェルマーの小定理という、合同式を考える上で大変有用な定理から話を始めます。定理(フェルマーの小定理) を で割り切れない任意の整数とする。このときが成り立つ。 …

自由研究:レピュニットが素数で何回割れるのか問題

一つ前の記事で「LTEの補題(指数持ち上げ補題)」という有名な補題について勉強しました。せっかくなので、この補題を何か他のネタにも使えないかと考えました。LTEの補題とは、こんな主張の補題でした:LTEの補題(指数持ち上げ補題) を奇数の素数とする…

線形合同法(擬似乱数生成法)の周期

世の中の現象の中には「ランダム」な現象が多々あります。たとえば、サイコロを振るのは分かりやすいランダムな現象の例です。他にも天気や地震、ギャンブルなども分かりやすいランダムな現象の例です。一方で、コンピュータの中で行われる計算は、一定のア…

テレビ番組 #ガリベンガーV に特別講師として出演しました(裏話など)

昨日5/15に放送された テレビ番組「ガリベンガーV」 という番組に出演させていただきました。TVerでも期間限定(5月22日(土) 23:40まで)で見ることができるので、ぜひご覧になってください! tver.jpなかなかない機会ですので、今日は収録の思い出を語った…