tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

楕円曲線

エルキースによるオイラー予想の反例:2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4

こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。www.youtube.comよろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください!フェルマーの最終定理の のケースに自然数解が存在しないことは、オイラーによって証明され…

モジュラー曲線(5):メイザーの定理

モジュラー曲線というのは、上半平面 を の合同部分群で割ったものとして定義されます。定義からは、明らかに複素解析的な対象に見えると思います。ところが、実はモジュラー曲線は数論的な対象でもあるのです。わかりやすい応用として、楕円曲線の位数有限…

2021は合同数

ちょっと早いですが明けましておめでとうございます!2021年も良い一年になりますように!ところで、毎年私は 今年の西暦にまつわる数の性質 について調べているのですが、2021 についても面白いものを見つけたので紹介します。それは 「2021は合同数」 であ…

3は合同数ではない

前回は、楕円曲線の有理点のランクを計算する方法を勉強しました。例をいくつか計算しているうちに、これはさまざまな合同数問題に応用できそうだということに気づいて、計算してみようと思ったのが今回の記事になります。そんなわけで、今回は 3が合同数で…

楕円曲線の有理点のランクを計算しよう!(2-descentの具体的計算)

楕円曲線には、有理点がの4点しか存在しないことが知られています。特に、無限位数の点は存在しません。 今日考えたいのは 「無限位数の点が存在しないことを本当に証明できるのか?」 という問題です。実際、それは可能であるというのが、今日伝えたいこと…

有限体上の楕円曲線とヤコブスタール和

前回の記事から引き続き、代数曲線の での解の個数 について思いを馳せたいと思います。前回の記事はこちら: tsujimotter.hatenablog.comなお今回の内容は、前回の記事の内容をまったく読んでいなくても理解できる内容となっています。 今回は、 を素数とし…

ミレニアム問題「BSD予想」の主張を1から理解したい!(ざっくり編)

ミレニアム問題 という言葉を聞いたことがあるでしょうか?アメリカのクレイ研究所という数学の研究所によって2000年に発表された、数学における7つの未解決問題のことです。21世紀に解かれるべき重要な問題がリストアップされており、それぞれに 100万ドル…

虚数乗法の具体例をもっと計算してみよう(類数2の場合)

本記事は「具体例を通して学ぶ虚数乗法論」シリーズ tsujimotter.hatenablog.comの続きの記事となっています。よろしければ、上の過去の記事も一緒にご覧になってください。 さて、前回の記事では、 が 類数1 の虚2次体であるとき、 に虚数乗法を持つ楕円曲…

虚数乗法の具体例をもっと計算してみよう(類数1の場合)

今週は、虚数乗法 をテーマとする記事を2本公開しました! tsujimotter.hatenablog.com tsujimotter.hatenablog.comおかげさまでたくさんの方々に見ていただき、たくさん反響もありました。 虚数乗法は、tsujimotterがこれまで時間をかけて勉強してきたテー…

具体例を通して学ぶ虚数乗法論(後編)

tsujimotter.hatenablog.com昨日に引き続き 「具体例を通して学ぶ虚数乗法論」 のお話 後編 です。

具体例を通して学ぶ虚数乗法論(前編)

こんにちは! 日曜数学者のtsujimotterです!早いもので、日曜数学者と名乗り始めてから5年半が経ちました。その間、色々な数学を勉強して、成長もしてきたと思います。昔憧れた、名前しかしらなかった高度な理論も、だんだんと理解できるようになってきまし…

13, 613, 20200613は合同数

こんにちは! 今日の日付は 2020/06/13 ですが、20200613 は素数 ですね!さらにいうと、20200613は「4で割って1あまる素数」でもあるわけですね。いやーじつにめでたい!上記の事実は、大人のための数学教室を経営している「和から株式会社さん」のTwitter…

ガロア表現から作るいろいろなゼータ関数

ゼータ Advent Calendar 2019 の5日目の記事です。 世の中には、色々なゼータ関数があります。・リーマンゼータ関数 ・ディリクレゼータ関数 ・ハッセ・ヴェイユゼータ関数 ・アルティンゼータ関数 ・合同ゼータ関数 ・セルバーグゼータ関数tsujimotterのノ…

モジュラー曲線(4):レベル構造付き楕円曲線とモジュライ空間

前回の記事では、モジュラー曲線 と楕円曲線の同型類全体が全単射であることを示しました。すなわち、 は楕円曲線の(同型類の)モジュライ空間になっているということでした。 tsujimotter.hatenablog.com 今回はレベル構造が入ったモジュラー曲線 を考えた…

モジュラー曲線(3):複素トーラスとしての楕円曲線

今回の記事は、楕円曲線についての基礎的な事項についてのおさらいです。これまでのtsujimotterのノートブックでは、色々な記事で楕円曲線について紹介してきました。しかしながら、どれも文字数や手間の関係で駆け足で紹介せざるを得ませんでした。ここで一…

曲線と関数体 (2):楕円曲線の加法はなぜ「あの」定義なのか?

今回のテーマは楕円曲線の加法はなぜあの定義なのか?です。前回に引き続き、楕円曲線の謎に迫っていきましょう。前回の記事はこちら: tsujimotter.hatenablog.com

曲線と関数体 (1):楕円曲線はなぜ3次曲線で表せるのか?

楕円曲線とは(細かいことを抜きにして言えば *1)という式で表される曲線のことです。上の方程式のことを、楕円曲線の定義方程式といいます。 時と場合によって微妙に定義式の書き方が異なったりますが、左辺の の指数はいつも 2乗 になっていて、右辺の式…

1729とK3曲面

こんにちは。本日、東京にて 日曜数学会 というイベントが開催されますね。日曜数学会は毎年1月・6月・10月の3回開催されていますから、実に5ヶ月ぶりとなります。5ヶ月も経つと「発表したいネタ」が溜まるようで、毎年この時期は発表者がたくさん集…

続:7は合同数(計算機編)

ここ最近「合同数」について勉強し、理解度が上がってきました。そこで、今日は合同数の具体的な計算をやってみたいと思います。今回は「7は合同数」の記事に出てきた「あの三角形」を計算で求めてみましょう。 tsujimotter.hatenablog.com SageMathについて…

合同数問題と保型形式(タネルの定理の証明の概略)

先週の日曜に梅崎さんが主宰する「数学について話す会」というイベントが開催されてtsujimotterも参加してきました。 数学について話す会 数学について話す会は「参加者全員が自分の好きな話をする」という、他ではあまりないタイプのイベントでした。参加者…

セルマー群と2-descent法

を代数体として 上定義された楕円曲線の -有理点の群をモーデル・ヴェイユ群 といいます。モーデル・ヴェイユの定理によって、 が有限生成であることが示されていますが、その自由部分の生成元の個数、すなわちランクを決定するのは一筋縄ではありません。今…

Knightの問題

2021.04.22 お知らせ:こちらの記事につきまして、本質的な内容の誤りがありましたので修正させていただきました。元の記事の記述を赤字で残しつつ、訂正した個所を青字で記しております。以前のバージョンの記事をご覧になったことにより、誤解を与えてしま…