tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

(987654321-1)/(123456789+1) がちょうど 8

最近、タイムラインで

 \displaystyle \frac{987654321}{123456789} \fallingdotseq 8

という話をよくみかけます。とても面白い現象ですね。


この問題については、id:egory_cat さんのブログにて、一般の  n 進法に対して証明が与えられています。
egory-cat.hatenablog.com


ブログを拝見させていただきましたが、とても面白かったです!


要するに、分子の数  987654321

 \displaystyle f(n) = \sum_{k=1}^{n-1} k n^{k-1}

に対して  n = 10 を代入した数であり、分母の数  123456789

 \displaystyle g(n) = \sum_{k=1}^{n-1} (n-k) n^{k-1}

に対して  n = 10 を代入した数であり、これらの比

 \displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}

の小数部分が十分小さな値となることを示せるわけですね。



一方で、Twitter上でこんなツイートも見かけました:

なるほど、上の記号を用いて

 \displaystyle \frac{f(10)-1}{g(10)+1} = 8

が成り立つと言うわけですね。これは面白い。


この関係から、一般の  n 進法において

 \displaystyle \frac{f(n)-1}{g(n)+1} = n-2

が成り立つことを示唆されますが、これは成り立つのでしょうか。


その答えはイエスです!

一般の  n で成り立ちますので、実際に証明してみましょう!


id:egory_cat さんの記事より

 \displaystyle f(n) = \frac{(n-2)n^n + 1}{(1-n)^2}
 \displaystyle g(n) = \frac{n^n - (n^2 - n + 1)}{(1-n)^2}

が成り立ちますので、これを使って変形しましょう。

 \displaystyle \begin{align} f(n) - 1 &= \frac{(n-2)n^n + 1}{(1-n)^2} - 1\\
&= \frac{(n-2)n^n + 1 - 1 + 2n - n^2}{(1-n)^2} \\
&= \frac{(n-2)n^n + 2n - n^2}{(1-n)^2} \\
&= \frac{n(n^n - n) + 2(n^n - n)}{(1-n)^2} \\
&= \frac{(n^n - n)(n-2)}{(1-n)^2} \end{align}

 \displaystyle \begin{align} g(n) + 1 &= \frac{n^n - (n^2 - n + 1)}{(1-n)^2} + 1\\
&= \frac{n^n - (n^2 - n + 1) + 1 - 2n + n^2}{(1-n)^2} \\
&= \frac{n^n - n}{(1-n)^2}  \end{align}


したがって

 \displaystyle \frac{f(n) - 1}{g(n) + 1} =  \frac{(n^n - n)(n-2)}{(1-n)^2} \cdot \frac{(1-n)^2}{n^n - n} = n-2

となり、綺麗に  n-2 だけが残りましたね!

元の問題に立ち返ってみると、この式の分母を「ちょっと小さく」して、分子の方を「ちょっと」大きくすると、 n-2 より少しだけ大きな値になるというわけなんですね。

いやー、数学ってうまいことできていますね!!




これで証明は完了しましたが、少し疑問が残りました。この結果って、定義に戻って考えると

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k n^{k-1} - 1 = (n-2) \left(\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) n^{k-1} + 1\right)

ということを表しているわけですよね。これって級数のままで証明できたりしないでしょうか。

もし思いついた方がおられましたら、コメントで教えていただけるとうれしいです。


それでは今日はこのへんで!
(とても楽しい記事を公開してくださった id:egory_cat さんに感謝です!)


追記

最後の

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k n^{k-1} - 1 = (n-2) \left(\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) n^{k-1} + 1\right)

という式ですが、直接証明する方法をOTTYさんから教えていただきました。許可をいただきましたので、転載させていただきます。


 f(n), g(n) に加えて、 h(n) を次のように定義します。

 \displaystyle h(n) = \sum_{k=1}^{n-2} (n-k-1)n^{k-1}

これは  n = 10 と代入すれば、 h(10) = 12345678 となります。つまり、 g(n) の最後の桁だけ抜いた数というわけですね。


ここで、次のような関係が成り立ちます:

 \displaystyle f(n) + h(n) = (n-1) \sum_{k=1}^{n-1} n^{k-1} \tag{1}
 \displaystyle g(n) - h(n) = \sum_{k=1}^{n-1} n^{k-1} \tag{2}
 \displaystyle g(n) - n h(n) = n-1 \tag{3}

 (1), (2), (3) はそれぞれ

 \displaystyle 987654321 + 12345678 = 999999999 \tag{1'}
 \displaystyle 123456789 - 12345678 = 111111111 \tag{2'}
 \displaystyle 123456789 - 123456780 = 9 \tag{3'}

と対応しています。


これらを使うと、次のように目的の式が得られます:

 \displaystyle \begin{align} f(n) - 1 &= (n-1)\sum_{k=1}^{n-1} n^{k-1}  - h(n) - 1 \\
&= (n-1) (g(n) - h(n)) - h(n) - 1 \\
&= (n-1) g(n) - n h(n) - 1 \\
&= (n-2) g(n) + g(n) - n h(n) - 1 \\
&= (n-2) g(n) + (n-1) - 1 \\
&= (n-2) (g(n) + 1) \end{align}


面白いですね!!

OTTYさんありがとうございます!

群論的に干支を考える:十二支と十干はなぜ60年で戻るのか?

みなさん明けましておめでとうございます!

年が明けたということで、みなさん今年の干支はご存知ですか?


そうです

壬寅(みずのえとら)

ですね!!


「え、寅年でしょ?」と思った方。もちろんそれで正解なんですが、少しだけ話を聞いてください。

実は、干支といったときには単に

子・丑・寅・卯・辰・巳・午・未・申・酉・戌・亥

十二支 だけではなく、十干(じっかん)

甲・乙・丙・丁・戊・己・庚・辛・壬・癸

も合わせて考えることがあるのです。


十干と十二支を順に並べて今年の干支といいます。

今年2022年は、十干が「壬(みずのえ)」で、十二支が「寅(とら)」なので、干支は「壬寅(みずのえとら)」というわけですね。
(もちろん実際問題として、単に十二支だけで干支と行ってしまう場合もあると思います。)


ところで、この干支のルール、なかなか面白いのです。

十干は10種類と十二支は12種類あるということで、干支は120種類あるのかと思いきや、なんとその半分の

60種類

しかありません。つまり、60年で元の干支に戻ってしまうのです。

このように、60年で元の干支に戻ってくるので、60歳の誕生日に還暦を祝ったりするわけですね。



もう少し詳しくルールを説明します。今年2022年は

壬寅

だったわけですが、来年2023年は

癸卯

となります。つまり、十干も十二支もそれぞれ1つずつ進める わけです。

この先は

壬寅  \rightarrow 癸卯  \rightarrow 甲辰  \rightarrow 乙巳  \rightarrow \cdots

のように進んでいきます。


このルールに従うと、120通りすべて通るわけではなく、半分の60通りの組み合わせしか登場しないことになります。たとえば、今年の干支の十干を一個ずらした

癸寅

は登場しないことになります。



60通りの組み合わせしか登場しないメカニズムについては、鰺坂もっちょさんのツイートがたいへんわかりやすいのでご紹介させていただきます。

実は、今回の記事はこちらのツイートがインスパイア元になっています。



さて、ここからが本題です。

上記のもっちょさんのアニメーションで、仕組みはよく理解できるかと思います。しかしながら、もっと別のやり方でこのことを理解できないかと考えました。

群論 を使うと、干支が60年で元に戻る仕組みを理解できることを思いついたので、今回の記事を書くことにしました。よろしければぜひ最後までご覧になってください!

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数学者の名前がついた素数

今回の記事では、数学者の名前がついた素数 について紹介したいと思います。名前を紹介するだけではなく、その由来となった数学的背景を簡単に紹介する記事になっています。

素数は

 2, 3, 5, 7, \ldots

のように数がただ並んでいるだけに思われるかもしれません。しかしながら、2はソフィー・ジェルマン素数であり、3や7はメルセンヌ素数、5はフェルマー素数であるなど、それぞれ個性を持っています。

この記事を通して、それぞれの数が持つ個性や魅力を感じていただけると嬉しいです。それでは、最後までぜひご覧ください!

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合成数のときのウィルソンの定理

突然ですが、100の階乗を101で割ったあまり を考えてみましょう。

実際、計算しようと思うと大変ですが

 100! =  93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

となります。これを  101 で割ったあまりは、ちょうど  100 になります。

ほかにも、 16!

 16! = 20922789888000

であり、これを  17 で割ったあまりは  16 となります。


実はこれ、一般に成り立つ話なのです!

 p素数として、 (p-1)! p で割ったあまりを考えます。すると、一般に以下の合同式が成り立ちます。

 (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}

これを ウィルソンの定理 と言います。

 -1 \equiv p-1 \pmod{p} なので、あまりが  p-1 だと言って良いわけですね。


ここまではよく知られている事実ですが、 p が合成数のときにはどうなるのだろうか、というのが今日の話です。


昨年行われた数学イベント(日曜数学会)の懇親会で「合成数だけに特別に成り立つような性質があったら面白いよね」という話になりました。そんな性質あったかなとWikipedia「合成数」の記事を開いてみると、こんな事実が書かれていました:

 (n-1)! \equiv 0 \pmod{n}  6 \leq n である合成数  n はこの式を満たす

ある意味、これが「合成数だけに特別に成り立つような性質はあるか」についての一つの答えになっていますね。

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よくよく考えてみると、この性質は当たり前です。証明してみましょう。

(証明)
 n が合成数だとすると

 n = ab ( 1 < a \leq b < n

のように因数分解できます。(素因数分解でなくてかまいません。)

ここで  a, b < n より、 a b

 (n-1)! = (n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1

の因数に入っています。

特に  a < b であれば

 (n-1)! = (n-1)(n-2) \cdots b \cdots a \cdots 2 \cdot 1

なので  n = ab (n-1)! を割り切ることが言えます。


 a = b の場合は、 a (n-1)! を割り切ったあと、 b がさらに  \frac{(n-1)!}{a} も割り切ることを示す必要がありますね。

このケースは  n平方数の場合ですが、 n = ab \geq 6 であれば  a b は3以上です。この場合、 2a < ab = n になりますので、

 (n-1)! = (n-1)(n-2) \cdots 2a \cdots a \cdots 2 \cdot 1

という形になっています。よって、 a で2回割り切れることが言えます。したがって、 (n-1)! n = ab = a^2 で割り切れます。

(証明終わり)


ちなみに、 n < 6 の合成数は  n = 4 のケースですが、このときは

 (4-1)! = 6 \equiv 2 \pmod{4}

となって  0 にはなりませんね。



当たり前なのですが、言われてみないとなかなか気づかなかったりするので、はっと気づかされると面白いと感じる。そんな定理かなと思います。


他にも合成数のときだけ成り立つような面白い性質をご存知の方がいましたら、よろしければ教えてください。

それでは今日はこの辺で!

【あけおめ】2022を素因数分解しよう

あけましておめでとうございます!

今年も楽しく日曜数学して、その様子を発信していきたいと思いますので、どうぞよろしくお願いします! ぜひ一緒に日曜数学しましょう!


2022年最初の記事では

2022

を素因数分解してみたいと思います!


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もちろん、素数チェッカーWikipediaの記事を調べれば、ただちに素因数分解の結果が分かってしまいます。

それではちょっと面白くないので、今回は 手計算でできる方法 にこだわってみたいと思います。


単に素因数分解するだけではなく、分解するための方法についても紹介したいと思います。

それではいきましょう!


みなさんもよかったら自分でも計算してみてくださいね!
(自分で計算してみたい人は、一旦ここで止めて考えてみてください。)

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カレンダーの上の素数 〜素数には毎年出会えるか?〜

日曜数学 Advent Calendar 2021 の最終日の記事です。

今日は日曜数学 Advent Calendar 2021 の 最終日 の記事です。

そんなわけで、12月1日から始まった日曜数学アドベントカレンダーも、今日で終わりです!

おかげさまで、なんと25日間すべての記事が埋まりました! 投稿してくださったみなさま本当にありがとうございます!!

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色々なタイプの記事が揃いましたが、今年はMathlogさんからの投稿が7件もありました!勢いを感じますね!


まだ読んでいない方もおられると思いますが、楽しい記事が集まっていますので、ぜひじっくり読んでいただければと思います。
adventar.org

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電子計算機を使わないで発見された最大の素数 (2^148+1)/17(Ferrierの素数)

日曜数学 Advent Calendar 2021 の17日目の記事です。


今日は

 \displaystyle N = \frac{2^{148}+1}{17} = 20988936657440586486151264256610222593863921 \tag{1}

という数について考えたいと思います。

この数、桁数が 44桁 もある巨大な数なのですが、なんと 素数 であることが分かっています。

1951年に素数であることが証明されたのですが、面白いことに

電子計算機を使わないで発見された最大の素数

という二つ名がつけられています。そう聞くとなかなか興味深く思えてきますよね! 一体どのようにして証明されたのでしょうか!?

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今日は、この数が素数であることを判定する、Ferrier(以降、フェリアーと呼ぶことにします *1)による方法を紹介したいと思います。

「素数である」という事実は後で紹介するWikipediaにも書いています。しかいながら、素数であることを証明する方法は、インターネット上を探してもなかなか見つかりません。今回、色々頑張って参考になる本を見つけたので、その内容をベースに紹介したいと思います。



なお、フェリアーの方法にこだわらないのであれば、ミラーラビン法を使えばコンピュータを使って一瞬で素数判定できます。

たとえば、以下のサイトで "20988936657440586486151264256610222593863921" を判定してみてください。
tsujimotter.info

実際、このような結果が出て、素数であることがわかるでしょう。

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なお、ミラーラビン法は厳密に言えば「確率的素数判定法」であり、上記の判定も(非常に低確率ですが)誤りである可能性があります。一方で、ミラーラビン法の前身である「ミラー法」であれば(一般化リーマン予想の仮定の下で)確定的に判定できます。このぐらいの桁数であれば、数秒もあれば判定できます。(実際にやってみました。)


ところで、ミラーラビン法の元となったミラー法は1976年に提案されていますので、フェリアーの1951年当時には存在しなかったことになります。

さらにいえば、コンピュータだったからこそ一瞬だったわけで、ミラーラビン法を手計算や機械式計算で行うのは至難の技かと思います。あまりおすすめはしませんが、興味がある方はやってみてください。

*1:Ferrierのカタカナ表記については、定番のものはなさそうに思えます。今回はHardy and wrightの本の表記を参考にしました:

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