tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

平方剰余の相互法則の証明(ガウス和を用いた方法)

3日連続ガウス和シリーズ、最終日の今回のテーマは 「平方剰余の相互法則」 です。平方剰余の相互法則は、整数論を勉強する人の多くが憧れる定理の一つで、いよいよここまできたかという感じがします。


なお、ガウス和シリーズの記事は、以下のタグで見ることができます:
tsujimotter.hatenablog.com


第2回の昨日は、次の定理を証明しました。

定理2(前回紹介)
 p\equiv 1 \pmod{4} のとき  p^* = p p\equiv 3 \pmod{4} のとき  p^* = -p とする。

このとき

 \displaystyle G_p^2 = p^*

が成り立つ。

この定理2をうまく使うと、平方剰余の相互法則が証明できてしまいます。これを今回紹介したいと思います。


このガウス和を使った平方剰余の相互法則の証明は、第Ⅳ証明 と呼ばれています。ガウスは生涯で、平方剰余の相互法則の証明を8通り与えているのですが(ガウスすごいですね)、その4番目にあたる証明です。

細かいことをいうと、今回紹介するのは第Ⅳ証明の特に「符号決定なし」の証明となっています。つまり、前回の定理2の主張で十分というわけですね。

ガウスは「符号決定あり」の証明も示しているのですが、今回の記事では扱いません。
(興味がある方は参考文献の本を参照ください。)

今回の証明は「円分体の理論」や「類体論」が背景にある証明となっています。

第Ⅳ証明は、ある意味でガウス以降の整数論の方向性を決めた、大変示唆的な証明となっています。整数論の歴史を追いかけるという意味でも、一度は理解したい証明です。

それではいってみましょう!

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ABC予想のよくある間違い

望月新一先生の「宇宙際タイヒミュラー理論」に関する論文が、論文誌に採録されることが決まったというニュースが飛び込んできました。
mainichi.jp

論文の原稿は8年も前から発表されており、その内容の壮大さから、数学好きの間で度々話題になっていました。特に、この理論の系として「ABC予想」と呼ばれる未解決問題が導かれるということが、数学好きとは限らない数多くの人の興味を引きました。

論文の主張が正しいかどうかは、結果的には論文を読んで自分で確かめる他ありません。
(論文誌に掲載されたということは、関連分野の専門家に査読されたということを意味しますが、これは主張の正しさが証明されたことを意味しないからです。)

しかしながら、一数学ファンとしては、論文誌に掲載されたというニュースを聞いて、純粋に嬉しい気持ちになりました。

一つの節目として、せっかくなので、自分の中の理解の確認のためにも、ABC予想の主張ぐらいは理解しておきたいという気持ちになりました。それをブログにまとめておこうというのがこの記事です。


ところがです。このABC予想の主張は、簡単そうな見た目に反して大変間違えやすいことで知られています。私自身も何度もこんがらがりました。勘違いしやすいポイントが色々隠れているというわけですね。

そこで、こうした勘違いしやすいポイントをあえて間違えつつ、修正しながら正しい主張に向かっていく、そんな記事にしたいと思います。

諸注意:
こんな記事を書いておいてなんですが、私自身が間違ったことを書いている可能性がありますので、気づいた方はご連絡いただければと思います。よろしくお願いします。


2020.04.04 途中の数値計算の箇所に誤りがありましたので、修正しました。以前のバージョンでは、 3^{2^n} の計算をすべきところを、 3^{2n} を計算してしまっておりました。

2020.04.04 「 a, b, c が互いに素ならば  \newcommand{\rad}{\operatorname{rad}}\rad(abc) = \rad(a)\rad(b)\rad(c)」という議論が誤りだったので、修正しました。

たとえば、 a = 1, b = 2, c = 2 のとき  a, b, c は互いに素ですが、 \rad(abc) = 2 であり、 \rad(a)\rad(b)\rad(c) = 4 なので等号は成り立ちません。 a,b b,c a, c の各組が互いに素であれば、上記は成り立ちます。

 a, b, c が互いに素」に加えて、「 a+b=c」が成り立つ際は、 \rad(abc) = \rad(a)\rad(b)\rad(c) は成り立ちます。

2020.04.05  3^{2^n} の計算のところで、 3^{2^n} = 9^{2^n-1} としていましたが、正しくは  3^{2^n} = 9^{2^{n-1}} でした。修正させていただきます。

2020.04.05 「 a = 16, n = 11, c = 27 としてみると」となっていたところを「 a = 16, b = 11, c = 27 としてみると」に修正しました。

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ガウス和の性質についての証明

前回の記事で、ガウス和  G_p についての面白い定理を紹介しました。

せっかくなので、ガウス和シリーズ と題して、3日連続でガウス和にまつわるお話を紹介したいと思います。このシリーズの全記事は「ガウス和」のタグで閲覧できるようにします。
tsujimotter.hatenablog.com

シリーズ第2回目の今回は、前回やり残した定理1の証明にチャレンジしたいと思います。

定理1
 \displaystyle G_p = \begin{cases} \sqrt{p} & p \equiv 1 \pmod{4} \\ \sqrt{-p} & p \equiv 3 \pmod{4}  \end{cases}

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√pの作り方(ガウス和)

一昨日にこんなツイートをしてみたら、思った以上に多くの方に面白がってもらえました。せっかくなので、この記事を通して「種明かし(?)」をしたいと思います。


今回は3日連続で投稿する「ガウス和シリーズ」の第1回の記事となっています。よかったら続きもぜひご覧になってください:
tsujimotter.hatenablog.com

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四元数環と2-コサイクル

今日は 四元数環  \newcommand{\hh}{\mathbb{H}}\hh について考えてみましょう。tsujimotterのノートブックでは初登場ですね。

f:id:tsujimotter:20200328111311p:plain:w260

複素数体  \mathbb{C} \mathbb{R} に虚数単位  i^2 = -1 を加えた体のことで、

 \mathbb{C} = \mathbb{R}\cdot 1 + \mathbb{R}\cdot i

と書けます。 \mathbb{R} 上の2次拡大体となっています。

 \mathbb{C} に「ある演算規則」をもった  j, k という新しい数を加えて

 \mathbb{H} = \mathbb{R}\cdot 1 + \mathbb{R}\cdot i + \mathbb{R}\cdot j + \mathbb{R}\cdot k

としたものが四元数環です。複素数体の4次元バージョンと思えます。

 i, j, k には、次のような関係が成り立ち、これが四元数環を定義する演算規則となっています:

 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \tag{1}

この式は、ハミルトンがブルーム橋に刻んだ数式としても知られていますね。


先日、四元数環と群コホモロジーの意外な接点 について教えていただきました。とても面白かったので、ぜひ紹介したいというのが今日の目的です。具体的には、ある2-コサイクルを考えると、そこから四元数環を構成することができるというのです。


今回の内容は梅崎さんに教えていただきました。いつも楽しい話を教えてくださってありがとうございます。
なお、もし内容に誤りがあったとしても、それは私の理解不足によるところかと思います。見つけた方は私にTwitter等でご指摘いただけますと幸いです。

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射影空間のK-有理点とヒルベルトの定理90

楕円曲線について本格的に勉強したいと思い、シルヴァーマンによる楕円曲線の本(タイトルは "The Arithmetic of Elliptic Curves"(通称:AEC))を読み始めました。

The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics)

The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics)

その第1章を読んでいく中で、射影 n-空間(あとで定義します)の  K-有理点に関する命題が登場するのですが、その証明にはなんと昨日紹介した「ヒルベルトの定理90」が使われるのです。このつながりは想像できなくてとても意外なことでした。

実はこの命題の証明は、シルヴァーマンの本では演習問題になっていまして、本には証明のヒントが載っているだけでした。2年前くらいから問題自体は知っていて、気になっていたのですが、先日ようやく自分で理解できました。とても嬉しかったのでまとめたい、というのが今回の記事の動機です。

3/23の群コホモロジーについての記事も、実は今回の記事のために用意したものでした。この記事の内容を前提に進めたいと思います。
tsujimotter.hatenablog.com

まずは、今回の主題を説明するための、代数幾何の基礎的な事項について述べたいと思います。

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群コホモロジーの定義と低次のコホモロジー

今回のテーマは 「群コホモロジー」 です。

整数論や諸々を勉強していると、群コホモロジーという言葉をよく耳にします。調べてみると、とても難しそうな定義が並んでいてよくわからない。少し前までの私はそんな感じでした。

一方で、難しい定義であっても、辛抱強く理解しようと試みれば、いつの間にか慣れてしまうこともあるようです。実際、今の私はそれなりに群コホモロジーを受け入れることができています。

まずは定義を受け入れてみることが大事なのかもしれません。というわけで、「定義をとにかく理解する」を目標に、群コホモロジーの定義について、私の理解できた範囲でまとめてみたいと思います。

記事の後半では、具体的な計算とともに「ヒルベルトの定理90」という重要な定理についても紹介します。

よくわかっている人向けの注釈:

群コホモロジーの定義は、①コチェイン複体を用いた方法と②導来関手を用いた方法がありますが、今回は簡単のため①の方法で定義を紹介したいと思います。

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