tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

局所ゼータ関数(ゼータ積分)

Zeta Advent Calendar 2020 の2日目の記事です。

今日の記事は 「ゼータ積分」 というものを扱ってみたいと思います。

きっかけは、私が主催したマスパーティというイベントです。その中で行われたζWalkerさんの発表の中で「ゼータ積分」というワードが現れました。動画でも残っているので、興味がある人はみてみてください。(大変面白い発表です。)

www.youtube.com


この「ゼータ積分」というものに、私は大変興味を持ちました。 \newcommand{\rr}{\mathbb{R}} \rr 上だったり、 \newcommand{\qq}{\mathbb{Q}}\qq_p 上の「積分」を使って定義される「局所ゼータ関数」というものがあり、これらを計算するとなんとガンマ関数や等比級数が現れるというのです。

僕自身は、この時点で「そもそも  \mathbb{Q}_p 上の積分とは?」というところから分かっていませんでしたが、なにやら興味を惹かれるものがありました。

最近、「測度論」というものを少しだけ勉強しまして、そこで得た知識を元に自分なりにゼータ積分を説明できる気になってきました。そこで書いたのがこちらの記事となります。


また、今回の記事をきっかけに測度論自体にも興味を持ちました。これまで名前だけは知っていましたが
「測度って  \rr 上のヘンテコな部分集合の長さとかを計算するやつでしょ?」
「僕は  \rr 上のヘンテコな部分集合の積分なんか、計算したくないぞ!」
という変な思い込みがありまして、敬遠していました。

実際は、 \rr に限らず、多様な集合の上で積分を定義するための道具なのです。当然  \qq_p 上の積分でも使います。

その辺の私の考え方の変遷についても伝えたい、というのが今回の裏テーマとなります。もしかしたら、同じ理由で測度論を敬遠している人もいるかもしれません!そんな人に、測度論は勉強してもいいんだよと伝えたい!


とはいえ、まだまだ理解が怪しい部分がたくさんありますので、話半分に聞いていただければと思います。それでは最後までお付き合いください!

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類体論入門

日曜数学 Advent Calendar 2020 の1日目の記事です。

「類体論」という名前を聞いたことがあるでしょうか?

類体論は、高木貞治という日本の数学者が提唱した理論です。実は今年2020年は類体論が提唱されてからちょうど 100周年 だそうです。
(類体論における主要な定理の一つ「高木の存在定理」が発表されたのが1920年の国際数学者会議なのだそうです。)

整数論に興味がある方は、名前を聞いたことあるかもしれません。一方で、その主張について知っている人はあまり多くないのではと思います。かくいう私も、これまで類体論について勉強を続けてきましたが、いつまでたっても全容がわからず苦労しました。最近ようやく、(あくまで個人的な実感として)その雰囲気がわかってきたような気がしています。難しいけれど、理解しようと思える価値がある理論だと思っています。

類体論を勉強しようと思い専門書や他の方の記事を読んでみたときに、解説の難易度は大きく二極化しているように思います。類体論的な現象を説明するに留まって類体論そのものについては十分解説されないものと、正確な主張が述べられてはいるが難解なもの。後者については、じっくり読むことで内容は理解できるかもしれませんが、抽象的すぎて前者の記事との繋がりがなかなか見えてこなかったりします。

今回の記事では、その間を繋ぐものを目指したいと思います。わかりやすい類体論的現象からスタートして、類体論の主張まで到達したいと思います。難解になりすぎず、類体論の全体像を雰囲気だけでも伝えるような「類体論の入門記事」を書いてみたいと思います。

もちろん、優しい記事を目指すといっても、前提知識は必要になります。群・環・体の基本的な事項や特にガロア理論は前提となってしまいます。難しい部分にはできるだけ踏み込まないように説明しますので、その辺の知識に自身がないという方も、よろしければ分からないところは飛ばしつつ読んでいただければと思います。

目次は以下の通りです。少し長い記事になりますが、ぜひ最後までお付き合いください!

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3は合同数ではない

前回は、楕円曲線の有理点のランクを計算する方法を勉強しました。例をいくつか計算しているうちに、これはさまざまな合同数問題に応用できそうだということに気づいて、計算してみようと思ったのが今回の記事になります。

そんなわけで、今回は 3が合同数ではないことの証明 に挑戦したいと思います。

今回の記事は、以下の記事の内容を前提としています:
tsujimotter.hatenablog.com

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楕円曲線の有理点のランクを計算しよう!

楕円曲線

 E\colon y^2 = x^3 - x

には、有理点が

 \newcommand{\qq}{\mathbb{Q}}E(\qq) = \{ \mathcal{O}, (0, 0), (1, 0), (-1, 0) \}

の4点しか存在しないことが知られています。特に、無限位数の点は存在しません。

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今日考えたいのは 「無限位数の点が存在しないことを本当に証明できるのか?」 という問題です。実際、それは可能であるというのが、今日伝えたいことです。

2-descent という方法を用いると、無限位数の有理点のランクを決定できます。ランクとは無限位数の点を生成する点(生成点)の個数であり、これが 0 であることが示せれば無限位数の点がないこと意味します。


記事の最後でも触れたいと思いますが、上記の楕円曲線のランクを決定することで、「 1 は合同数でないこと」や「 n = 4 のフェルマーの最終定理」を証明することができてしまいます。こんな風に、応用の上でもとても楽しいトピックになっています。よろしければ最後までお付き合いください。

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テレビ番組「金曜日のソロたちへ」に出演しました! #金ソロ

こんにちは、日曜数学者のtsujmotterこと辻順平です。

10/16(金)に放送された NHK総合「金曜日のソロたちへ」 というテレビ番組に出演させていただきました。見てくださった皆様ありがとうございます!
www.nhk.jp

NHKオンデマンドで10/30(金)まで見られるそうなので、見逃してしまった方はぜひご覧ください。
www.nhk-ondemand.jp

今回は私が「数学を楽しんでいる様子」を伝える良い機会になったと思います。ご紹介くださったNHKの関係者のみなさまに御礼申し上げます。

何か仕事のご依頼(数学講演、テレビ出演、書籍執筆 etc)ありましたら、tsujimotter [at] gmail.com までご連絡ください!

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【宣伝】テレビ出演・出版・イベント出演について

こんにちは、日曜数学者のtsujimotterです! 趣味で数学を学び、楽しんでいる様子を講演やブログを通して発信しております。

ここ数日、ありがたいことにお知らせしたいことが一気に出てきまして、まとめてご紹介したいと思ってブログを書きました。5つ お知らせがありますので、よろしければ内容をチェックいただければと思います!

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