日曜数学 Advent Calendar 2022 の最終日の記事です。
メリークリスマス！！
毎年恒例の日曜数学Advent Calendarは、2022年も実施することとなりまして、こちらの記事はその最終日の記事です。
adventar.org
おかげさまで、（初日を除いて*1）毎日記事が埋まりました！
今年はこれまで以上に気合が入った記事が多く、毎日楽しく読ませていただきました。ご参加いただきまして、ありがとうございます！！
今回の記事のテーマは、2022年の振り返り なのですが、2022年のtsujimotterは特に「YouTubeでの動画投稿」を頑張りましたので、その活動について紹介したいと思います。
*1:初日に登録された方へ：もし、今後書く予定がありませんでしたら、キャンセルいただけたら他の方が記事を書くことができて楽しいかもしれません。
よろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください！
フェルマーの最終定理の のケース
に自然数解が存在しないことは、オイラーによって証明されていました。
オイラー自身は、この式の指数と変数の個数を1個ずつ増やした
にも、同様に解がないことを予想しました（1769年）。以降もずっと指数と変数を増やして行っても同様に解がないと予想していたようです。割と自然な発想ですよね。
一見すると式 には自然数解がなさそうなので、長い間解がないと信じられていました。
ところが、1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって、式 の解が発見されたのです：
この発見によってオイラー予想は間違っていることが示されたわけです。
次がそのランダーとパーキンの論文なのですが、1ページで完結する論文 ということで有名です。
こうなってくると、式 の方も怪しく見えてきます。実際、この
の解の探索が多くの研究者によって試みられました。そして、ついに1988年に天才数学者、ノーム・エルキースによって解が発見されたのです。
それが次の解でした：
さらに言えばエルキースはこの解だけではなく、無限個の（互いに素な）解を見つける方法を得ています。
今日は、このエルキースの解がどうやって見つけられたのか、その手法を紹介したいと思います。たぶん、これについて詳しく書かれた日本語の記事はそう見つからないと思います。
実際、この解を発見するための方法は、楕円曲線とコンピュータを使ったかなり難解な方法でした。以前から興味を持っていたのですが、きっと僕にはわからないだろうと諦めていました。ですが、思い立って原論文に当たってみたところ、意外と読めてしまったのです。
そんなわけで今日はエルキースの方法について、その概要を紹介したいと思います。細かい部分は理解できているわけではないので、原論文をあたってください。
ぜひ最後までご覧ください。
続きを読む今日は、次の等式
についてです。
よろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください！
この式だけ見せられても
「ほぉ、なるほど。足したものを2乗したものと、3乗してから足したものが【たまたま】一致する等式なんですね。面白いですね。」
となるわけですが・・・。
実はこの式、次のように一般的に求められる式なんです！
なんと、これは任意の正の整数 について成り立ってしまうのです！！
超プーレ数 があったとき、その約数
は定義より 超プーレ数・素数・1 のいずれかです。
超プーレ数に対してその約数が多ければ多いほど、多くの超プーレ数を内部に持つことになります。今回は「約数をできるだけ多く持つような超プーレ数」を考えたいと思います。
すなわち、次のような定義が自然に思いつきます。
つまり、これ以上親がいないような、極大の親玉であるような超プーレ数のことを指すわけですね。
"maximal" の訳として「最大」も候補に挙がるのですが、すべての超プーレ数の中で一番大きいわけではないので適切ではないように考えています。
前回に引き続き「超プーレ数」の話題です。今朝投稿されたばかりの次のYouTube動画に関する話題について、ブログでもより深く解説してみたいと思います。
前回紹介したときに現れた超プーレ数の例は
のように、平方因子を持たないものばかりでした。果たして、平方因子を持つような超プーレ数は存在するのでしょうか？
続きを読む明日話したくなる「数」のお話シリーズの最新動画で 超プーレ数 という概念を紹介しました。
動画内でいくつか定理を紹介しましたが、証明までは説明しませんでした。このブログ記事では動画の補足情報として、動画で紹介できなかった証明部分を紹介したいと思います。
続きを読む素数の一覧表を作るときに、一個一個の数を素数かどうか判定していくのもよいですが、もう少し効率的に行う方法があります。
その方法の一つが エラトステネスの篩（ふるい） です。
エラトステネスの篩は、情報系の大学生であればプログラミングの演習等で一度は実装したことがあるかと思いますが、実に「アルゴリズム的」なものです。説明の際は「手順」を説明されることが多く、私はこれを数式で表そうと考えたことがありませんでした。
ところが、Wikipediaを見ると、エラトステネスの篩はこんな数式で表せると書いてあります。
こんな風に表せるのか！と驚いた一方で、これはいったいどういうことなんだろうとも思いました。
実際、式 の意味するところは何なのか、初見ではあまりよくわかりません。そこでこの記事では、式
の意味を理解し、どのようにして導かれるのかを理解するために順を追って解説したいと思います。