tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

エルキースによるオイラー予想の反例:2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4

こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。

よろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください!

フェルマーの最終定理の  n = 3 のケース

 X^3 + Y^3 = Z^3 \tag{1}

に自然数解が存在しないことは、オイラーによって証明されていました。

オイラー自身は、この式の指数と変数の個数を1個ずつ増やした

 X^4 + Y^4 + Z^4 = W^4 \tag{2}

 X^5 + Y^5 + Z^5 + W^5 = V^5 \tag{3}

にも、同様に解がないことを予想しました(1769年)。以降もずっと指数と変数を増やして行っても同様に解がないと予想していたようです。割と自然な発想ですよね。


一見すると式  (2), (3) には自然数解がなさそうなので、長い間解がないと信じられていました。

ところが、1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって、式  (3) の解が発見されたのです:

 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 \tag{4}

この発見によってオイラー予想は間違っていることが示されたわけです。

次がそのランダーとパーキンの論文なのですが、1ページで完結する論文 ということで有名です。

こうなってくると、式  (2) の方も怪しく見えてきます。実際、この  (2) の解の探索が多くの研究者によって試みられました。そして、ついに1988年に天才数学者、ノーム・エルキースによって解が発見されたのです。

それが次の解でした:

 2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4 \tag{5}

さらに言えばエルキースはこの解だけではなく、無限個の(互いに素な)解を見つける方法を得ています。


今日は、このエルキースの解がどうやって見つけられたのか、その手法を紹介したいと思います。たぶん、これについて詳しく書かれた日本語の記事はそう見つからないと思います。

実際、この解を発見するための方法は、楕円曲線とコンピュータを使ったかなり難解な方法でした。以前から興味を持っていたのですが、きっと僕にはわからないだろうと諦めていました。ですが、思い立って原論文に当たってみたところ、意外と読めてしまったのです。

そんなわけで今日はエルキースの方法について、その概要を紹介したいと思います。細かい部分は理解できているわけではないので、原論文をあたってください。

ぜひ最後までご覧ください。

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リウヴィルの示した「初等整数論の」面白い定理について

今日は、次の等式

 (1 + 2 + 2 + 4)^2 = 81 = 1^3 + 2^3 + 2^3 + 4^3 \tag{1}

についてです。

こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。

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この式だけ見せられても

「ほぉ、なるほど。足したものを2乗したものと、3乗してから足したものが【たまたま】一致する等式なんですね。面白いですね。」

となるわけですが・・・。


実はこの式、次のように一般的に求められる式なんです!


 n = 10 とします。
 10 のすべての約数:  1, \; 2, \; 5, \; 10
② ①のそれぞれについて約数の個数を数える:  1, \; 2, \; 2, \; 4
③ ②で得られた数列を足して2乗したもの(左辺)と、3乗してから足したもの(右辺)が一致する


なんと、これは任意の正の整数  n について成り立ってしまうのです!!

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極大超プーレ数とフェルマー商の素因数分解

超プーレ数  m があったとき、その約数  d は定義より 超プーレ数・素数・1 のいずれかです。

超プーレ数に対してその約数が多ければ多いほど、多くの超プーレ数を内部に持つことになります。今回は「約数をできるだけ多く持つような超プーレ数」を考えたいと思います。

プーレ数や超プーレ数の定義、基本的な性質についてはこちらの記事で紹介しています:
tsujimotter.hatenablog.com


すなわち、次のような定義が自然に思いつきます。

定義(極大超プーレ数)
超プーレ数  m に対して、 m より大きな超プーレ数  M であって  m \mid M なるものが存在しないとき、 m極大超プーレ数(maximal super-Poulet number)といいます。

つまり、これ以上親がいないような、極大の親玉であるような超プーレ数のことを指すわけですね。

ちなみに「極大」は "maximal" の訳語です。"maximal super-Poulet" に対応する日本語訳が定着していないので私がオリジナルでつけた訳語となります。

"maximal" の訳として「最大」も候補に挙がるのですが、すべての超プーレ数の中で一番大きいわけではないので適切ではないように考えています。

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プーレ数の平方因子とヴィーフェリッヒ素数

前回に引き続き「超プーレ数」の話題です。今朝投稿されたばかりの次のYouTube動画に関する話題について、ブログでもより深く解説してみたいと思います。


前回紹介したときに現れた超プーレ数の例は

 341 = 11 \times 31
 1387 = 19 \times 73
 2047 = 23 \times 89
 2701 = 37 \times 73
 3277 = 29 \times 113

のように、平方因子を持たないものばかりでした。果たして、平方因子を持つような超プーレ数は存在するのでしょうか?

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プーレ数と超プーレ数

明日話したくなる「数」のお話シリーズの最新動画で 超プーレ数 という概念を紹介しました。


動画内でいくつか定理を紹介しましたが、証明までは説明しませんでした。このブログ記事では動画の補足情報として、動画で紹介できなかった証明部分を紹介したいと思います。

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エラトステネスの篩を数式で表すと・・・?

素数の一覧表を作るときに、一個一個の数を素数かどうか判定していくのもよいですが、もう少し効率的に行う方法があります。

その方法の一つが エラトステネスの篩(ふるい) です。


エラトステネスの篩は、情報系の大学生であればプログラミングの演習等で一度は実装したことがあるかと思いますが、実に「アルゴリズム的」なものです。説明の際は「手順」を説明されることが多く、私はこれを数式で表そうと考えたことがありませんでした。

ところが、Wikipediaを見ると、エラトステネスの篩はこんな数式で表せると書いてあります。

 \displaystyle \newcommand{\HRNO}{\unicode[sans-serif]{x306E}} \pi(n) - \pi(\sqrt{n}) + 1 = \sum_{d \mid P(\sqrt{n})} \mu(d) \left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor  \tag{1}

細かい定義は次のとおりですが、本文の中で順に説明していきます。

  •  \pi(x) x 以下の素数の個数
  •  P(z) z 以下のすべての素数を掛け合わせて得られる数
  •  \mu(n):メビウス関数
  •  \lfloor x \rfloor:ガウス記号( x を超えない最大の整数)
  •  a \mid b a b を割り切る

こんな風に表せるのか!と驚いた一方で、これはいったいどういうことなんだろうとも思いました。

実際、式  (1) の意味するところは何なのか、初見ではあまりよくわかりません。そこでこの記事では、式  (1) の意味を理解し、どのようにして導かれるのかを理解するために順を追って解説したいと思います。

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「2pがトーシェントであること」と「pがソフィー・ジェルマン素数であること」は同値

今朝投稿されたYouTube動画
youtu.be

にて、 2p p は素数)の形の数がトーシェントである条件が、ソフィー・ジェルマン素数に関係するという非常に興味深い定理を紹介しました。

定理
 p を素数とすると,次が成り立つ:
 2p がトーシェント  \;\; \Longleftrightarrow \;\;  p はソフィー・ジェルマン素数

ここで、 mトーシェントであるとは、ある  n が存在して  \varphi(n) = m が成り立つことを言います。(詳しくは動画をご覧ください。)


今日は、動画の補足としてこの興味深い定理の証明を紹介したいと思います。
(今回はあくまで動画の補足という位置付けなので、いつもの記事と違って淡々と進めていくタイプの記事となっています。)

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