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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

ベイカーの定理と類数1の虚二次体の決定

類数1の虚二次体 は完全に決定されていて,虚二次体を としての 9 つだけであることが知られています。これがベイカー・スタークの定理です。今日はこの定理の「ベイカーによる証明」をご紹介したいと思います。

類数公式とデデキントのゼータ関数

ゼータ関数強化月間 第2弾 として,今日は「デデキントのゼータ関数」を紹介したいと思います。デデキントのゼータ関数によって「類数」が求まる 「類数公式」 についてお話したいと思います。証明の流れが非常に面白いので,そのあたりを楽しんでいただけ…

「57 は 3 で割れ切れる」の別証明(したかった)

2017/02/04: こちらの記事の計算に誤りがあることが発覚しました。今は手が離せないので,また後ほど訂正いたします・・・。2017/02/05: 上記の誤りについてですが,たしかに誤りであることが確認できました。どの箇所が誤っているかについて,末尾の「追記…

続・XX + XY + 6YY の形で表せる素数

これまで「類体論」の勉強をしてきましたが,その集大成となる記事を書きたいと思います。本日扱いたいのは,およそ一年前に紹介した以下の問題です。 の形でかける素数はどのような法則を満たすか?その一年前の記事はこちら: tsujimotter.hatenablog.com

ガウスの種の理論 (Genus Theory)

今日考えたい問題は という二次形式で書ける素数の法則です。実際,という法則が知られており, の素イデアル分解によって説明できます。これについて,以前の記事でまとめたことがありました。 tsujimotter.hatenablog.com一方で,上の記事では「たまたまそ…

163とドカベン素数

4 で割って 1 あまる素数は,すべて2つの平方数の和でかけるという事実は,非常に有名なのでご存知の方も多いかと思います。私のブログでもたびたび取り上げてきました。フェルマーが発見したので,フェルマーの二平方定理(あるいは,二平方和の定理)とい…

2017は非正則素数

今年は西暦 2017 年ですが,2017 は素数 ということで各所で盛り上がったことと思います。実は,2017は単に素数なだけではなく,非正則素数 という重要な素数でもあるのです。今日はそのことを紹介します。概要: さっき発見したんですが 2017 は 123 番目の…

オイラーの素数生成多項式の秘密

今日はオイラーが発見した, という多項式についてお話したいと思います。 ある特別な に対して,多項式の に整数 を入れていくと,「素数」が次から次へとたくさん出てくるのです。まるで 「魔法の多項式」 です。これだけでも十分面白いのですが,なんとこ…

FLTとクンマーとイデアル類群

2016年が始まりました。日曜数学者の tsujimotter は、今年も楽しく数学をしていきたいと思っています。どうぞよろしくおつきあいください。 というわけで、新年一発目の数学の話を。今日の目標は、以下の命題の一般的な証明方法についての解説です。 命題:…

二次体 Q(√-5) のイデアル類群と xx + 5yy 型の二次形式

関連記事: tsujimotter.hatenablog.com 「イデアル類群は,単項イデアル整域からどれだけ離れているかを測る "ものさし" である」 というような文章は,イデアル類群を簡単に説明するためによく用いられる解説ですが,こんな説明を聞いても「はぁ?何言って…

Z[√-5] のイデアルについて

二次体 上の整数環 を考えたときに,その代数的整数に対して「素因数分解の一意性は必ずしも保証されない」 という問題は,代数的整数論のイントロダクションとして重要なトピックだと思います。具体的には, のときには, という数が2通りに素因数分解され…

二次形式の類数を求めるプログラム

今回お話ししたいのは「正定値二次形式の判別式 に対して,類数 を計算する Ruby のプログラムを作った!」という話です。なのですが,この分野を知らない人にとっては上の文章はサッパリですね。「二次形式ってなに?」「判別式ってなに?」「類数って・・…

691 に心惹かれる理由

日曜数学者と名乗る前は「数のエンターテイナー」と名乗っていた tsujimotter です。久しく数のエンターテイナー成分がなかったので、ひさびさに「数についての雑学」をお話しようと思います。タイトルにある "691" という数は、単なる素数に見えるかもしれ…

独習ノート「素数と2次体の整数論」#0:動機

教科書を1つ決めて、それに沿って tsujimotter が勉強した過程をまとめていく連載シリーズです。 本シリーズの教科書はこちら。素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)作者: 青木昇,飯高茂,中村滋,岡部恒治,桑田孝泰出版社/メーカー: 共立出版発売日: 2…

自由研究:ラマヌジャン定数のナゾ(1)

注意 この記事は数学に関しては素人(NOT professional)の tsujimotter が興味を持った数学について、調べて理解を深めていく過程をまとめたものです。「らしい」「とのこと」などの怪しい言葉が入っているように、この記事の内容の正確性は一切保証しませ…