続々々・12 = 3×4, 56 = 7×8 - tsujimotterのノートブック

12 = 3×4, 56 = 7×8シリーズの第４弾。まさか続くと思っていませんでした。

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シリーズの記事は「12 = 3×4, 56 = 7×8」というタグでまとめていますので、よろしければご覧になってください。
tsujimotter.hatenablog.com

今日のテーマ

前回までの記事を公開したところ、二世さん（@m_2sei）から

「みうらさんの方法で4-4のパターンできましたよ」

という連絡が。*1

まさか、この先の問題が解けるとは思っていなかったので驚きです。許可をいただいてその解法を紹介したいと思います。

というわけで、今回の問題はこちらです。

正の整数 $n, a$ が $n > a + 7$ と、次の式を満たすとする：

$an^3 + (a+1)n^2 + (a+2)n + (a+3) = (a+4) (a+5) (a+6) (a+7) \tag{1}$

このとき、 $n, a$ の組を求めよ。

次数がだいぶ増えてきたので、いかにも難しそうですが、やってみましょう。

解法

基本的には、みうらさんによる3-3のパターン（左辺が3桁、右辺が3つ積のパターン）の解法の通りに進めていきます。
tsujimotter.hatenablog.com

まず $n > a+7$ なので、正の整数 $k$ を用いて $n = a + k$ と表すと $k > 7$ となることがわかります。

その $k$ を用いて、式 $(1)$ に $n = a + k$ を代入します。

$\begin{align} &a(a+k)^3 + (a+1)(a+k)^2 + (a+2)(a+k) + (a+3) \\ &= (a+4) (a+5) (a+6) (a+7) \end{align} \tag{2}$

これで、変数は $a, k$ だけになりました。

さらに式 $(2)$ の(左辺) $-$ (右辺)を、関数 $F_k(a)$ で表すことにします。

$\begin{align} F_k(a) := & a(a+k)^3 + (a+1)(a+k)^2 + (a+2)(a+k) + (a+3) \\ &- (a+4) (a+5) (a+6) (a+7) \end{align} \tag{3}$

$F_k(a) = 0$ となるような $a, k$ が元の問題の解を与えるというわけです。

ここで $k \geq 11$ のとき、 $F_k(a)$ は実際には正の値をとってしまう、という補題を示したいと思います。すなわち、この条件では解がないということです。

補題

$a, k$ を正の整数とする。 $k \geq 11$ のとき、 $F_k(a) > 0$ が成り立つ。

$\begin{align} F_k(a) &= a(a+k)^3 + (a+1)(a+k)^2 + (a+2)(a+k) + (a+3) - (a+4) (a+5) (a+6) (a+7) \\ &= (3k - 21)a^3 + (3k^2 + 2k - 177)a^2 + (k^3 + k^2 + 3k - 635)a + (k^2 + 2k - 837) \end{align}$

ここで、 $F_k(a)$ は $a$ についての 3次関数になっていることに注意します（4次の項が消えた！）。

$k \geq 11$ のとき、 $F_k(a)$ の3次、2次、1次の項の係数はそれぞれ

$3k - 21 > 0$

$3k^2 + 2k - 177 > 0$

$k^3 + k^2 + 3k - 635 > 0$

となることがわかります。したがって、 $F_k(a)$ は $a > 0$ のとき単調増加します。

ここで $k \geq 11$ のとき、 $a = 1$ を計算すると

$\begin{align} F_k(1) &= (3k - 21) + (3k^2 + 2k - 177) + (k^3 + k^2 + 3k - 635) + (k^2 + 2k - 837) \\ &= k^3 + 5k^2 + 10k - 1670 \\ & \geq 1331 + 5\cdot 121 + 10\cdot 11 - 1670 \\ & = 376 \\ & > 0 \end{align}$

となります。

したがって、 $F_k(a) > 0$ が言えました。（補題の証明終わり）

以上により、 $k$ として考えるべき範囲は $7 < k < 11$ のとき、すなわち

$k = 8, 9, 10$

の 3通りを調べればよいでしょう。

$k = 8$ のとき

$k=8$ を代入すると

$F_8(a) = 3a^3 + 31a^2 - 35a - 757$

となります。 $a$ で微分すると

$F_8'(a) = 9a^2 + 62a - 35$

であり、 $F_8'(a) = 0$ より

$\displaystyle a = \frac{-31\pm 2\sqrt{11\cdot 29}}{9}$

が $F_8(a)$ のグラフの極値となります。よって、 $F_8(a)$ は

$\displaystyle a > 5/9 > \frac{-31 + 2\sqrt{11\cdot 29}}{9}$

の範囲で単調増加します。

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$F_8(0) < 0$ より、 $a > 5/9$ の範囲で $F_8(a)$ の符号は正に転じるわけですが、実際

$F_8(4) = -209 < 0$

$F_8(5) = 218 > 0$

より、整数解を持ちません。

$k = 9$ のとき

$k=9$ を代入すると

$F_9(a) = 6a^3 + 84a^2 + 202a - 738$

となります。 $a$ の係数が正のため、 $F_9(a)$ は単調増加します。

ここで

$F_9(1) = -446 < 0$

$F_9(2) = 50 > 0$

より、整数解を持ちません。

$k = 10$ のとき

$k=10$ を代入すると

$F_{10}(a) = 9a^3 + 143a^2 + 495a - 717$

となります。 $a$ の係数が正のため、 $F_{10}(a)$ は単調増加します。

ここで

$F_{10}(1) = -70 < 0$

$F_{10}(2) =917 > 0$

より、整数解を持ちません。

以上から、すべての $k > 7$ なる $k$ に対して、条件を満たす整数 $a > 0$ は存在しないことがわかります。

よって、式 $(1)$ には条件を満たす整数解がないことが示されました。（終わり）

おわりに

無事に4-4の問題を解くことができました。

方法は基本的には3-3のときと同じでしたが、 $F_k(a) = 0$ の解が整数かどうかの判定については、3-3の方法と少し異なりました。今回使った方法であれば、 $F_k(a)$ の次数は関係ないので、5-5以降の問題でもそのまま使えるかもしれません。

tsujimotterは正直なところ、4-4の問題が解けるものだとは思っていませんでした。だから、二世さんから「できた」と言われたときは心底驚きました。

私自身は2桁, 3桁の結果で満足してしまっていて、その先をやろうとは思いませんでした。これ以降の問題では4次方程式等の高次の多項式が出てくるのでできないだろうと、安直に考えてしまっていたわけです。ところが、実際にやってみたらできてしまったわけですね。

取り組んでもいないのに「できない」なんて簡単にいうもんじゃないと反省しました。私自身はこれまでも、自分で問題に取り組むことを面倒臭がり、安易に答えを求めたがる傾向がありました。今回の問題を通して、実際に取り組むということの重要性を実感しました。そういう経緯もあって、この問題はぜひ紹介したいなと思ったわけです。

これまで解決できた問題を整理すると、次の図のようになります。