tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

4n+3型, 6n+5型, 8n+5型素数の無限性

少し前に、私の周囲で「" 3n+1" 型素数が無限に存在することを初等的に証明できるか?」という議論が流行っていました。私が追っていた限りにおいては、ちょっとずつ穴があって証明は叶わなかったようです。

私は、てっきりこの手の問題、すなわち  an+b 型素数の無限性( a, \; b は互いに素)は、ディリクレの L 関数 を使わないと証明できないと思っていました。本ブログでも " 4n+1" 型素数については取り扱っていましたが、これは L 関数を使った証明でした。
tsujimotter.hatenablog.com


実は、これらの問題には( L 関数を用いない)初等的な証明があるようなのです!これには驚きました!

表題の「 4n+3 型素数」「 6n+5 型素数」「 8n+5 型素数」についての証明は、Hardy & Wright の数論入門に載っていると fujidig さんという方に教えていただきました。


読んでみるとびっくりするぐらい簡潔な証明でしたので、こちらでもご紹介したいと思います。どれも、ユークリッドの素数の無限性の証明を、問題に合わせてマイナーチェンジしている形の証明となっています。


示したい内容の確認と証明の方針

示したいのは

『「4n+3型素数」「6n+5型素数」「8n+5型素数」がそれぞれ無限に存在する』

です。このことは、ディリクレの算術級数定理

『「 an+b 型素数」が無限に存在する(ただし、 a, b は互いに素)』

 a, b にそれぞれ数字を入れた「具体化」になっています。


実際、例を挙げると、

 4n+3 型素数:  3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, \cdots
 6n+5 型素数:  5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101,  \cdots
 8n+5 型素数:  5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, 173, 181,  \cdots

これらの系列がそれぞれ無限に続いていくことを示したいのです。


証明には、素数の無限性についての「ユークリッドの証明」を活用します。これを思い出しましょう。
tsujimotter.hatenablog.com

簡単に証明の中身を追ってみましょう。

素数  p に対して、以下の  q を考えます。
 q = 2\cdot 3\cdot 5 \cdots p + 1

この数  q は、 p 以下の素数では割り切れない。(1)

したがって下線部 (1) より、 q p より大きい素数  P で割り切れる。

以上より、素数  p に対して、これより大きい素数  P を作ることができた。これを繰り返すことにより素数を無限に作ることができる。


よろしいでしょうか。

それでは、表題の「4n+3型素数」「6n+5型素数」「8n+5型素数」についての証明にチャレンジしましょう。方針としては、以上のユークリッドの方法と同じような流れで進んでいきます。

なお、証明は参考文献の記述をベースに書いてはいますが、簡潔すぎて「行間」が広い(ように見えた)ので、私の言葉で少しだけ書き直しています。できるだけ上と記述を揃えてわかりやすくしたつもりです。

 4n+3 型素数の無限性

まず  2 より大きい素数  p に対して、

 q = 2^2\cdot 3\cdot 5 \cdots p - 1

とおく。この数  q 4n+3 型の数であり(1)、かつ  p 以下の素数では割り切れない。(2)

また、以下のことに注意しよう。

 (4n+1 型の数 ) \; \times \; (4n+1 型の数 ) \;=\; (4n+1 型の数 )

よって、 q 4n+1 型の素数だけの積ではありえない。(3)

したがって、下線部 (1), (2), (3) より、 q p より大きい素数  P で割り切れ、その  P 4n+1以外の素数である。 4n+1 型以外の素数は、 2 4n+3 型素数に限られるが、 P>2 であるから  P は明らかに  4n+3 型の素数である。

以上より、 2 より大きい素数  p に対して、これより大きい  4n+3 型の素数  P を作ることができた。これを繰り返すことにより  4n+3 型の素数を無限に作ることができる。

 6n+5 型素数の無限性

上とほぼ同様の流れで示す。

まず  3 より大きい素数  p に対して、

 q = 2\cdot 3\cdot 5 \cdots p - 1

とおく。この数は  6n+5 型の数であり(1)、かつ  p 以下の素数では割り切れない。(2)

また、以下のことに注意しよう。

 (6n+1 型の数 ) \; \times \; (6n+1 型の数 ) \;=\; (6n+1 型の数 )

よって、 q 6n+1 型の素数だけの積ではありえない。(3)

したがって、下線部 (1), (2), (3) より、 q p より大きい素数  P で割り切れ、その  P 6n+1以外の素数である。 6n+1 型以外の素数は、 2 3 6n+5 型素数に限られるが、 P>3 であるから  P は明らかに  6n+5 型の素数である。

以上より、 3 より大きい素数  p に対して、これより大きい  6n+5 型の素数  P を作ることができた。これを繰り返すことにより  6n+5 型の素数を無限に作ることができる。


 8n+5 型素数の無限性

このケースは、証明は上の2つのケースよりやや複雑になる。

 3 より大きい素数  p に対して、以下の数を考える。

 q = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdots p^2 + 2^2

この数の  3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdots p^2 の部分は、奇数の平方数である。奇数  2m+1 の平方は、

 (2m+1)^2 = 4m(m+1) + 1

となり、これは  8n+1 型である。 (\because \; m, m+1 のどちらかは偶数より  )

これに  2^2 = 4 を加えるわけだから、結局  q 8n+5 型である(1)。また、 p 以下の素数では割り切れない。(2)


また、 q a^2 + b^2 の形をしており、 (a, b) = 1 である。ここで、以下の定理を認めることにする。

定理:
 (a, b) = 1 のとき, a^2 + b^2 の奇数の素因数は, 4n+1 の形をしている.

これより、 q の任意の素因数は  4n+1 型に限られる。
 q 8n+5 型なので奇数。奇数の素因数はすべて奇数。)


ここで、以下のことに注意しよう。

 (8n+1 型の数 ) \; \times \; (8n+1 型の数 ) \;=\; (8n+1 型の数 )

よって、 q 8n+1 型の素数だけの積ではありえない。(3)


したがって、下線部 (1), (2), (3) より、 q p より大きい素数  P で割り切れ、その  P 8n+1以外の素数である。 q の任意の素因数は、点線部により  4n+1 型、すなわち  8n+1 型か  8n+5 型であるが、 8n+1 型以外と言っているのだから  P は明らかに  8n+5 型の素数である。

以上より、 3 より大きい素数  p に対して、これより大きい  8n+5 型の素数  P を作ることができた。これを繰り返すことにより  8n+5 型の素数を無限に作ることができる。


(補足)
 8n+5 型の素数は  4n+1 型素数でもあるので、この証明により  4n+1 型の素数の無限性も示されました。やったね。

終わりに

いかがでしょうか。少々トリッキーですが、でも思ったほど難しくはないですよね。 8n+5 型素数でやや複雑になったように、この方向性で続けていくと、ほかのケースではより難しくなってしまうかもしれません。

このブログでも度々言及している id:integers さんに伺ったところ、一般の  an+b 型素数の無限性についても初等的な証明があるようです。今回紹介したものと比べるとはるかに難しいようですが。

「初等的  \neq 簡単」
という点に注意ですね。

私が調べたところによると、Selberg が一般的なケースについて初等的に証明しているようです。まだちゃんと論文を読んでいないので、内容の判断はできませんが。JSTOR に登録すれば Read Online で無料で読めますので、よろしかったら誰か教えてください。笑

An Elementary Proof of Dirichlet's Theorem About Primes in an Arithmetic Progression on JSTOR

追記 (2016/03/07):

せきゅーんさんが  3n+1 型素数の証明を紹介してくれました。

ツイートにもあるように、 an+1 型の素数についての一般的な証明法は、せきゅーんさんのブログに既に書いてありました。
integers.hatenablog.com

参考文献

今回の話はハーディ&ライトの数論入門 I の第2章「素数の列 (2)」の中にある「2.3 ある等差数列における素数」に書いてあります。さらっと書いてあるので、注意して読んでみてください。

数論入門 I (シュプリンガー数学クラシックス 第)

数論入門 I (シュプリンガー数学クラシックス 第)

なお、 8n+5 型の証明で仮定した定理は、§ 20.3 で証明されるようなので、2巻を読む必要があります。注意です。

数論入門 II (シュプリンガー数学クラシックス 第)

数論入門 II (シュプリンガー数学クラシックス 第)