デカルトの見つけた奇数の完全数（？）

今日は11/28で日付は 28。28は皆さんご存知の完全数ですね。

というわけで、今日はいい完全数の日です！

せっかくなので、完全数にまつわる面白い話をご紹介したいと思います！

未解決問題：奇数の完全数はあるか？

約数すべての和が自分自身の2倍に一致する自然数のことを完全数といいます。完全数としてよく知られているのは、

$6, \; 28, \; 496, \; 8128, \; \ldots$

ですね。小さい方から数えて $28$ は2番目の完全数ですね。また、これらの完全数はすべて偶数となっています。

一般に、メルセンヌ素数を $2^p - 1$ としたときに、

$2^{p-1} \cdot (2^p - 1)$

という数は完全数になることが比較的簡単な議論で示せます。このような完全数は、もちろん偶数になります。

逆に偶数の完全数が必ずこの形で表せることは、オイラーによって証明されています。たとえば、証明はこの動画でわかりやすく説明されています。
www.nicovideo.jp

実際、先ほどの4つの完全数は

$6 = 2^{2-1} \cdot (2^{2} - 1)$

$28 = 2^{3-1} \cdot (2^{3} - 1)$

$496 = 2^{5-1} \cdot (2^{5} - 1)$

$8128 = 2^{7-1} \cdot (2^{7} - 1)$

というように $2^{p-1}\cdot (2^p - 1)$ という形で表されますね。

ここで証明されたことは、偶数の完全数であればこの形で表せるということです。奇数のときにどうであるかについては、一切言及されていません。

奇数の完全数は未だ見つかっていません。そもそも存在しないかもしれませんが、存在しないことは示されていないのです。そのため「奇数の完全数が存在するかどうか？」という問題は未解決問題というわけですね。

約数の和

完全数は約数の和を使って定義されるので、約数の和を表す関数を用意しておきましょう。

$\sigma(n) := \,(\,n$ のすべての約数の和 $)$

このように定義すると、完全数は

$\sigma(n) = 2n$

を満たす自然数 $n$ ということになりますね。

この関数 $\sigma(n)$ は、 $n$ を素因数分解することで、簡単に計算することができます。

段階をおって説明していきたいのですが、たとえばわかりやすい例として、素数 $p$ として $\sigma(p)$ を計算してみましょう。素数 $p$ の約数は $1, \; p$ の２つなので、約数の和は

$\sigma(p) = 1 + p$

ですね。

次に、 $p^e$ という形の約数は $1, \; p, \; \ldots, \; p^{e}$ なので、その和 $\sigma(p^e)$ は

$\sigma(p^e) = 1 + p + \cdots + p^e$

となりますね。

ここから2つ以上の素因数のパターンを考えたいと思います。 $p, q$ を素数として、 $p^e q^f$ という形の約数の和を考えたいと思います。 $p^e$ の約数は $1, p, \ldots, p^e$ であり、 $q^f$ の約数は $1, q, \ldots, q^f$ です。 $p^e q^f$ の約数は、これらをすべて掛け合わせたものですから、約数の和は

$\sigma(p^e q^f) = (1 + p + \cdots + p^e)\cdot (1 + q + \cdots + q^f)$

となりますね。

同様に、素因数の個数が3つ以上の場合も、素因数ごとに約数を足し合わせて、それを掛けることで計算できます。

デカルト数 198585576189

さて、ここまで準備した上で、デカルトが発見した奇数の完全数を紹介しましょう！

次の実例を見ると驚くと思います。

$198585576189 = 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 22021$

前節の方法で約数関数を計算すると、こうなります：

$\begin{align} &\sigma(198585576189) \\ &= \sigma(3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 22021) \\ &= (1+3+3^2)\cdot (1+7+7^2)\cdot (1+11+11^2)\cdot (1+13+13^2)\cdot (1+22021) \\ &= 2\times 198585576189 \end{align}$

つまり、

$\sigma(198585576189) = 2 \times 198585576189$

が成り立つということですね。これは完全数の定義そのものですね！

一方、198585576189は明らかに奇数なので、奇数の完全数となります！

うおおおお、すごい！！！　奇数の完全数が見つかってしまった！！！

いや、やっぱりおかしいですよね。

先ほどわざわざ下線を引いて「奇数の完全数は未だ見つかっていません。」と言ったばかりです。上が奇数の完全数の実例なのだとしたら、その主張に矛盾します（もしかしてデカルトは未来人なのか？そんなわけない）。

一体どういうことなのでしょうか。

ネタバラシをすると、上の数は奇数の完全数ではありません。

いったいどこがおかしいかというと、 $22021$ は素数ではありません。つまり、198585576189を

$\require{color}198585576189 = 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot \textcolor{red}{22021}$

のように表しましたが、これは素因数分解ではなかったというわけですね。（そもそも上では素因数分解と言っていませんでしたね。）

実際、 $22021$ は

$22021 = 19^2 \cdot 61$

のように素因数分解されます。したがって、約数の和はこれを考慮に入れた上で

$\begin{align} \sigma(198585576189) = \; &(1+3+3^2)\cdot (1+7+7^2)\cdot (1+11+11^2) \\ &\cdot (1+13+13^2)\cdot (1+19+19^2) \cdot (1+61) \end{align}$

のように計算する必要があります。

もちろん、これは $2\times 198585576189$ には一致しません。

今回の数に関しては「Descartes number（デカルト数）」という名前で、英語版のWikipediaに乗っています。
en.wikipedia.org

日本語のWikipediaはありませんでした。Googleで検索してみると、英語での記事はいくつか見つかりますが、日本語で言及されたものは一つも見つかりませんでした（私の探し方が悪いのかもしれませんが）。

非常に面白い性質を持った数なので、ぜひ日本語で紹介を残しておきたいと思い、今回の記事にまとめさせていただきました。

Wikipediaによると、デカルト数は互いに素な整数 $m, p$ を用いて $n = mp$ と表される奇数であって、

$2n = \sigma(m)\cdot (1+p)$

となるような数として定義されるそうです。

デカルトの見つけた $198585576189$ の場合は

$\begin{align} m &= 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \\ p &= 22021 \end{align}$

というわけですね。ここでもし $p = 22021$ が素数であれば、 $n = mp$ は完全数ということになりますが、実際は $p$ が素数ではないものを許容しようということです。このような $p$ を 'spoof' prime（'spoof' は「なりすまし」や「だまし」の意）というわけですね。

198585576189は、デカルト数の一例ということになります。

現在まで、デカルト数の条件を満たす例は、'spoof' primeが負の数になるもので

$3^4\cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 19^2 \cdot (−127)$

が見つかっています。実は、これ以外には見つかっていないそうです。

元ネタとOdd, spoof perfect factorizations

今回の話を知ったのは、じゃいろさんの次のツイートでした。

arXivに面白い論文が上がっていた．奇数の完全数の存在性は歴史的な未解決問題です．

Odd, spoof perfect factorizations
BYU Computational Number Theory Grouphttps://t.co/jI7fNBvb6L pic.twitter.com/wZEKWJAO6C
— じゃいろ67 (@maruroido2) 2020年6月19日