$\displaystyle \begin{align} f(X) = &-\frac{11}{907200}X^{11} + \frac{163}{181440}X^{10} - \frac{37}{1260}X^{9} \\ &+ \frac{13481}{24192}X^{8} - \frac{2055371}{302400}X^{7} + \frac{240683}{4320}X^{6} \\ &- \frac{28268521}{90720}X^{5} + \frac{85774775}{72576}X^{4} - \frac{446998571}{151200}X^{3} \\ &+ \frac{46351537}{10080}X^{2} - \frac{221017}{56}X + 1416 \end{align} \tag{1}$

この $f(X)$ に $X = 1, 2, 3, \cdots, 12$ を代入すると、

$\begin{align} f(1) &= 31 \\ f(2) &= 28 \\ f(3) &= 31 \\ & \vdots \\ f(12) &= 31 \end{align}$

となり、月を入力すると日を返す多項式になっています！すごい！

こんな多項式をいったいどうやって求めるんだろうかと、気になったかたはいるんじゃないかと思います。

これについては中国剰余定理が使えるということを、Iwao KIMURA ( @iwaokimura ) さんが、以下のツイートで教えてくださいました。

月を入力すると日を返す多項式．中国の剰余定理のいい例ですね．sagemathだとコマンド一発． pic.twitter.com/F15nosE2ia
— Iwao KIMURA (@iwaokimura) 2018年10月21日

中国剰余定理は私の好きな定理の一つですが、このような応用があることはまったく知りませんでした。

とても興味深い話だったので、理屈を自分でも考えてみました。今日はそれを紹介したいと思います。

2018-10-11

「インテジャーズイン仮面ライダービルド」関連記事紹介（tsujimotter編）

数学イベントレポートオイラーの素数生成多項式

10/6に開催されたMathpower2018というイベントにおいて「インテジャーズイン仮面ライダービルド」という対談企画が開催されました。tsujimotterは、数のエンターテイナーの関真一朗さん（id:integers）と共演し、１時間半の講演をしてきました。

f:id:tsujimotter:20181010162138j:plain:w400

写真提供：@ONEWAN さん

Twitterまとめ：Mathpower2018 - Togetter
イベントホームページ：MATH POWER
感想ブログなど：
MATH POWER 2018に参加してきました。 #Mathpower - 7931のあたまんなか
 MATH POWER 2018 開催報告レポート～1日目～ - マスログ

2018-10-02

超幾何級数と超幾何定理

数学

今日は超幾何級数のお話をしたいと思います。複素数 $a, b, c, z$ に対して、次の級数を考えます：

$\displaystyle F(a, b, c; z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n n!} z^n \tag{1}$

なお、 $(x)_n$ はポッホハマー記号といって、 $(x)_n := x(x+1)\cdots(x+n-1)$ で定義されます。より一般の複素数に対しては、あとで定義するガンマ関数によって $(z)_n := \Gamma(z + n) / \Gamma(z)$ としても定義できます。

細かいですが、上記の級数の収束範囲を考えます。

係数の $(c)_n$ が 0 のとき上記の級数が定義できないので、この記事を通して $c$ は「0以下の整数」ではないとします。
$a$ または $b$ のいずれかが「0以下の整数」であるとき、上記の級数は係数が途中から 0 になってしまうので「有限和」となります。したがって、級数は $z$ が全複素数平面に対して収束します。
$a$ と $b$ のどちらも「0以下の整数」ではないとき、上記の級数は無限級数となるため、適切に収束条件を考える必要があります。ダランベールの収束判定法により、 $|z| < 1$ のとき絶対収束し、 $|z| > 1$ のとき発散します。
$|z| = 1$ のときは、 $\operatorname{Re}(a) + \operatorname{Re}(b) < \operatorname{Re}(c)$ のとき収束するようです。（自信ない）

超幾何級数は、tsujimotterのブログでも一度出てきたことがありました。
tsujimotter.hatenablog.com

そのときはこんなイラストと一緒に紹介しましたね。笑

f:id:tsujimotter:20150807204307p:plain:w240

懐かしの超幾何級数エイリアン

このときのテーマは「超幾何定理を使えば有理数の面白い無限級数表示を得られる」というものでした。超幾何定理は証明なしに使っていましたが、今回その証明方法が理解できたので紹介したいと思います。

2020/09/28補足：
以前のバージョンでは、積分表示や超幾何定理の収束条件に関する議論に誤りがありました。少しずつ訂正していっているのですが、まだ整合的ではない箇所がありますので、鵜呑みになさらないようお願いします。。。

2018-10-01

続：7は合同数（計算機編）

数学整数論楕円曲線合同数

ここ最近「合同数」について勉強し、理解度が上がってきました。そこで、今日は合同数の具体的な計算をやってみたいと思います。

今回は「7は合同数」の記事に出てきた「あの三角形」を計算で求めてみましょう。
tsujimotter.hatenablog.com

SageMathについて

今回の記事は、次のツイートの解説という位置付けです。

Sagemathを使って合同数に付随する楕円曲線の（無限位数の）有理点を計算することで、面積が 7 になる直角三角形の辺の長さ (35/12, 24/5, 337/60) を具体的に計算できた！楽しい！

参考：7は合同数 https://t.co/dkNotmbQ8B pic.twitter.com/f9WuUrRsYc
— tsujimotter (@tsujimotter) 2018年9月30日

計算には、SageMathというソフトウェアを用いて行います。
www.sagemath.org

CoCalcというサービスを使えば、オンラインでもSageMathが扱えます。TwitterやGithub等のアカウントでログインすることができますので、自分でも試したい方はアクセスしてみてください。

https://cocalc.com/app

2018-09-30

リーチ格子とキャノンボール問題

数学整数論 24

24 にまつわる「リーチ格子」と「キャノンボール問題」の興味深い関係について紹介します。

2018-09-25

合同数問題と保型形式（タネルの定理の証明の概略）

数学整数論楕円曲線保型形式合同数

先週の日曜に梅崎さんが主宰する「数学について話す会」というイベントが開催されてtsujimotterも参加してきました。

数学について話す会

数学について話す会は「参加者全員が自分の好きな話をする」という、他ではあまりないタイプのイベントでした。参加者の聞き手としてのレベルが高く、発表者が気持ち良く話せるイベントだったと思います。tsujimotterは、本記事のタイトルにあるような「合同数」についての話をしてきたのですが、とても楽しくお話することができました。ほかの方の発表内容も興味深いものばかりでした。企画してくださった梅崎さんに感謝です。

さて合同数問題は、ぱっと見は初等的な問題に見えるのですが、実のところとても奥が深い問題です。合同数を判定するための「タネルの定理」と呼ばれる結果が知られているのですが、そこではなんと「保型形式」が関係します。

今日はそのタネルの定理について、私の知っている限りで紹介したいと思います。もちろん難しい内容なので、私自身は実際のところはよくわかっていませんし、誤解もあるかもしれません。「タネルの定理を完全解説するぞ」という大それたことを言うつもりはありません。あくまでこの記事の目的は「定理の成り立つ仕組みを表面的に追いかけて、何となくわかった気になろう」というものです。

より詳しく理解したい方は参考文献のコブリッツの本を読むか、あるいはコブリッツで参照されている論文にアクセスされるとよいかと思います。

「数学について話す会」で使ったスライドもこちらに上がっていますので、今回の記事の補助資料としてお使いください：

合同数問題と保型形式 from Junpei Tsuji

www.slideshare.net