７は合同数 - tsujimotterのノートブック

１つ前の記事で「合同数」の話が出たので，合同数についてのもう一つの話題を。

復習しておくと，合同数とは「すべての辺の長さが有理数であるような直角三角形の面積になる数」のことです。

図で表すとわかりやすいですね。

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前回述べたように，合同数の例としては， $6$ が挙げられます。辺の長さが $3, 4, 5$ である直角三角形を考えると，

$3^2 + 4^2 = 5^2$

が成り立ち，また面積は，

$\displaystyle \frac{3\cdot 4}{2} = 6$

より，たしかに $6$ が合同数であることがわかります。

このように都合のよい辺の長さが見つかれば別ですが，一般に与えられた $n$ に対して， $n$ が合同数であることを示すのは困難です。

タイトルの「７は合同数」を初めて示したのはあのオイラーです。

「またお前か」って感じですよね。笑

合同数は，古代ギリシアやアラビア時代から考えられていたテーマのはずですが，「７は合同数かどうか」というかなり特殊な設定の問題ですら，オイラーまで解決していなかったというのは驚きですね。

さて，お待ちかねの「７は合同数」であることを示す直角三角形はこちらです。

じゃじゃーん！

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えぇーっと・・・。まじかー・・・。って感じですよね。笑

念のため検算しましょう。

$\displaystyle a = \frac{35}{\;12\;}, \; b = \frac{\;24\;}{5}, \; c = \frac{\;337\;}{60}$

とおきます。

$\displaystyle a^2 + b^2 = \left(\frac{35}{\;12\;}\right)^2 + \left(\frac{\;24\;}{5}\right)^2 = \frac{30625 + 82944}{3600} = \left(\frac{\;337\;}{60}\right)^2 = c^2$

が成り立っていますね。さらに，

$\displaystyle \frac{\;ab\;}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{35}{\;12\;}\cdot\frac{\;24\;}{5} = 7$

となって，たしかに $7$ は合同数です。*1

＊　＊　＊

合同数探しは，現代においてはもう少し状況はマシになっています。たとえば，「Tunnell（タネル）の定理」という定理があって，これは合同数の必要十分条件ではないものの，合同数の特徴づけに役に立ちます。

定理（Tunnell, 1983）：
$n$ を平方因子を持たない正の奇数とする．このとき， $(A)$ ならば $(B)$ が成り立つ．

$(A)\;\;$ $n$ は合同数．
$(B)\;\;$ $2x^2+y^2+8z^2=n$ を満たす整数の３つ組 $(x, y, z)$ の数は， $2x^2 + y^2 + 32z^2 = n$ を満たす整数の３つ組 $(x, y, z)$ の数の２倍に等しい．

また，弱バーチ−スウィナートン・ダイアー（Birch−Swinnerton-Dyer: BSD）予想が正しいとき， $(B)$ ならば $(A)$ が成り立つ．