2020-03-12

任意の自然数は高々53個の4乗数の和で表せる

数学整数論

昨日紹介した「モジュラー形式の本」にまたまた面白い話が載っていたので紹介したいと思います。

1足す1から現代数論へ: モジュラー形式への誘い

作者:アッシュ,アブナー,グロス,ロバート
発売日: 2019/07/27
メディア: 単行本

ウェアリングの問題

このブログでこれまでたくさん紹介してきましたが、4で割って1あまる素数は

$13 = 2^2 + 3^2$
$29 = 2^2 + 5^2$

のように「２つの平方数の和」として表すことができます。

一方で、たとえば4で割って3あまる素数はそのような和によって表すことができません。もちろん、平方数をもっと増やせば4で割って3あまる素数も表すことができて、実際4つあれば足りることが知られています。

$7 = 2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2$

$11 = 3^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2$

より一般に任意の自然数は4つの平方数があれば表すことができることが、ラグランジュによって示されています。

定理（ラグランジュの4平方定理）

任意の自然数 $n$ に対して

$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

を満たす（非負の）整数 $a, b, c, d$ が存在する。

このラグランジュの定理は、平方数だけでなく3乗数、4乗数にも拡張されています。ラグランジュの定理は「任意の自然数 $n$ は4個の非負の平方数の和として表せる」でしたが、次のような事実が証明されています。

任意の自然数 $n$ は 9個の非負の 3乗数の和として表せる
任意の自然数 $n$ は 19個の非負の 4乗数の和として表せる

こんな風に、平方数（2乗数）だったら4個、3乗数だったら9個、4乗数だったら19個のように、べき乗の数と平方数の個数が対応しているわけです。

「これを一般化できるか？」というのが、ウェアリングの問題です。すなわちウェアリングの問題とは次のような問題です。

ウェアリングの問題

自然数 $k$ について「任意の自然数 $n$ は $N$ 個の非負の $k$ 乗数の和として表せる」を満たすような最小の自然数 $N$ を $g(k)$ とする。

任意の自然数 $k$ に対して $g(k)$ は常に存在するか？

$k = 2, 3, 4$ のときはそれぞれ $g(2) = 4, \; g(3) = 9,\; g(4) = 19$ という有限の値が求まったわけです。

しかしながら、一般に $k \geq 5$ のときにも同じように有限の値 $g(k)$ が存在するとは限らないですよね。もちろん、それがあることをウェアリングは期待しているわけですが。

実際、ヒルベルトによって、ウェアリングの問題は肯定的に解決されました。すごいですね。

「任意の自然数は高々53個の4乗数の和で表せる」の証明

さて、今回の記事は $g(4)$ についてのお話なんですが、 $g(4) = 19$ を示すことはなかなか難しそうです。そこで、もう少し緩めた問題を考えます。

すなわち、高々53個の4乗数があれば、任意の自然数が表せるを示したいと思います。 $g(4) \leq 53$ ということですね。

キーになるのは次の恒等式です。

今日のキーポイント

$\begin{align} 6(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = \; & (a+b)^4 + (a-b)^4 + (c+d)^4 + (c-d)^4 + \\ & (a+c)^4 + (a-c)^4 + (b+d)^4 + (b-d)^4 + \\ & (a+d)^4 + (a-d)^4 + (b+c)^4 + (b-c)^4 \end{align}$

なかなかとんでもない恒等式ですね。

左辺は $a, b, c, d$ のそれぞれの2乗の和を2乗して6倍したもの、右辺は $a, b, c, d$ から2個ペアを選んで、それを足し引きしたものを4乗したものを全部足し合わせた式になっています。

この恒等式の証明は、かったるいですが、とにかく計算したらわかるというタイプの式です。「ブラハマグプタの恒等式」に似ています。
tsujimotter-sub.hatenablog.com

さて、左辺に「4つの平方数の和」があることに注目しましょう。ラグランジュの定理によると、任意の自然数 $n$ は $n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ の形で表せるわけです。

ということは、 $6n^2$ という形の数は、12個の4乗数の和で表すことができることが一目瞭然というわけです。面白いですね。

ところで、任意の整数は $6m+r$ （ただし $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ ）という形で表すことができますね。ラグランジュの定理を使って、この $m$ を再び4つの平方数の和で表すと

$\begin{align} 6m+r &= 6(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 + n_4^2) + r \\ &= 6n_1^2 + 6n_2^2 + 6n_3^2 + 6n_4^2 + r \end{align}$

となります。

今日のキーポイントを使った議論により $6n_1^2, 6n_2^2, 6n_3^2, 6n_4^2$ はそれぞれ、12個ずつの4乗数の和で表せます。よって、その和は48個の4乗数の和で表せるというわけです。

あとは $r$ の部分ですが、 $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ についてすべて考えると次のようになります。

$0 = 0^4 + 0^4 + 0^4 + 0^4 + 0^4$

$1 = 1^4 + 0^4 + 0^4 + 0^4 + 0^4$

$2 = 1^4 + 1^4 + 0^4 + 0^4 + 0^4$

$3 = 1^4 + 1^4 + 1^4 + 0^4 + 0^4$

$4 = 1^4 + 1^4 + 1^4 + 1^4 + 0^4$

$5 = 1^4 + 1^4 + 1^4 + 1^4 + 1^4$

よって、任意の自然数は高々 $48 + 5 = 53$ 個の4乗数の和で表せることがわかりました。

いやー、面白いですね！

ほとんど、上の恒等式一発で証明できてしまいましたが、こういうのはとても気持ちがいいですね。

それでは今日はこの辺で。

2020-03-11

法pにおける(-1)の平方根の計算(2)

4で割って1あまる素数 $p$ に対して

$x^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p} \tag{1}$

をみたす整数 $x$ が必ず存在することは「平方剰余の相互法則」の「第一補充則」と呼ばれ、よく知られていますね。

一方で、上の事実だけからは「 $x$ がどのような数であるか」についてはわかりません。具体的に $x$ を求める方法はないのでしょうか。

実は以前にも似たような問題意識の記事を書いたことがありました。
tsujimotter.hatenablog.com

というわけで、今回はパート２です。

前回紹介したのは「オイラーの基準」を使った方法でしたが、今回は「ウィルソンの定理」を使った方法を紹介したいと思います。

2020-03-07

#素数大富豪札幌杯で出された合成数出しカマトトについて

数学整数論日曜数学素数大富豪

先日、素数大富豪の大会が札幌で開催されました。その名も「札幌杯」。一時期は開催が危ぶまれましたが、なんとか無事開催されることになりました。

少し長い動画ですが、YouTubeで大会の様子を見ることができます。
www.youtube.com

札幌杯では「数学的に面白いシーン」がありました。今日はそれを紹介したいと思います。

nishimura vs OTTY

nishimuraさんとOTTYさんの2人の対戦で事件（？）は起きました。お二人とも強豪同士という注目の対戦カードです。対戦も非常に熱かったのですが、今回見ていただきたいのは、動画の 2:12:00 あたりです。

f:id:tsujimotter:20200306011918p:plain:w400

OTTYさんの97843（5枚出し）に対して、nishimuraさんからこんな手が出されました

$3^{567224} =_? 88111213$

88111213は "88JQK" として出されていますので、5枚出しで問題ありません。しかしなんだこれはという手です。

2020-03-06

ケンタッキーのサイドメニュー問題と重複組合せ

数学整数論日曜数学自由研究・独自研究

去年の年末、ケンタッキーに行ったときのことです。オリジナルチキン4ピースパックを注文することにしました。
www.kfc.co.jp

このパックでは、以下の4種のサイドメニューのうち1個を選ぶことができます。

・ポテトS
・クリスピー
・ビスケット
・コールスローS

どれもおいしそうですね。

f:id:tsujimotter:20200306160743j:plain:w360

写真はオリジナルチキンとサイドメニューのビスケットです

私は2パック購入したので、サイドメニューは重複を含めて2個選ぶことができました。

ここで購入する際に悩んだのは、次の問題です。

サイドメニューを選ぶ組合せは何通りだろうか？

（あ、サイドメニューを選ぶのに悩んだんじゃないんですね・・・）

この問題に対して、ケンタッキーを出てから家までの道のりの間考えてみたところ、二通りの解法を思いつきました。それを紹介したいと思います。

2020-02-18

フェルマー数を使った素数の無限性の証明

数学整数論

今日は数論の話をしましょう。

今回の主役は フェルマー数 です。フェルマー数とは、0以上の整数 $n$ に対して

$F_n = 2^{2^n} + 1 \tag{1}$

の形をした数のことです。

$F_n$ が自然に現れる問題としては 正多角形の作図 がよく知られています。 $p$ を素数として、正 $p$ 角形が作図可能である必要十分条件が知られています。その条件は「素数 $p$ がフェルマー数であること」です。フェルマー数の形をした素数をフェルマー素数といいます。

宣伝です！！

フェルマー素数と作図の関係についての解説は、tsujimotterのノートブックの過去の記事でも紹介しています：
tsujimotter.hatenablog.com

また、私の執筆した数理科学の記事（2017年12月号）でも、丁寧に紹介しています。よろしければご覧ください。

数理科学 2017年 12 月号 [雑誌]

発売日: 2017/11/20
メディア: 雑誌

最初の5つのフェルマー数

$F_0 = 3$

$F_1 = 5$

$F_2 = 17$

$F_3 = 257$

$F_4 = 65537$

を観察すると、これがすべて素数となることに気づきます。

フェルマー数の由来となった数学者フェルマーは、フェルマー数が素数ばかりであることに驚き、この先も素数が続くことを予想していたようです。

ところが、すぐ次のフェルマー数は素数ではありません。

$F_5 = 4294967297 = 641 \times 6700417$

もっというと、この先フェルマー素数は一つも見つかっていません。2020年2月現在、307個のフェルマー数が合成数であることが調べられています。フェルマー数の列の中に、6個目もフェルマー素数を見つける試みは、大変難しいことがわかります。

今紹介したフェルマー数を使うと、なんと 素数の無限性の別証明 が得られるのです。今日はその方法を紹介したいと思います。

フェルマー数から素数の無限性が得られると聞いて、ぱっと頭に浮かぶのは「フェルマー素数の無限性」を示すという方針でしょう。フェルマー素数が無限にあることが示せれば、当然素数も無限にあるというわけです。

フェルマー素数の無限性 $\;\; \Longrightarrow \;\;$ 素数の無限性

しかしながら、フェルマー素数の無限性を示すのはとても困難です。そもそも「～〜素数の無限性」を示すこと自体、とても難しい問題です。ほとんどの場合（たとえば「フィボナッチ素数の無限性」「メルセンヌ素数の無限性」「双子素数の無限性」など）が未解決問題で、うまくいっているのは「 $an + b$ 型素数の無限性（算術級数定理）」ぐらいです。

もっと違ったアプローチが必要というわけですね。

2020-02-04

リーマン面の定義

数学解析学リーマン面

最近、寺杣先生の「リーマン面の理論」という本を勉強しています。

リーマン面の理論

作者:寺杣友秀
発売日: 2019/11/29
メディア: 単行本（ソフトカバー）

「リーマン面」についての勉強を始めたのは、「幾何が専門の人の話についていけるようになりたい」という動機からでした。そんなことを考えているときに上記の本が発売されたので、ちょうどよいタイミングだなと思いました。また、それとは別に「リーマン面」と「数論的な現象」の間に接点があるそうで、これについても理解したいなという思いがあります。

一方、tsujimotterはこれまで位相空間論や多様体の勉強をほとんどしてこなかったので、理解するのにだいぶ苦労しています。進捗は遅そうですが、少しずつでも読み進めようと思っています。

第一段階として、自分自身の理解の確認のためにリーマン面の具体例を構成していきたいと思っています。今回はその前段として「リーマン面の定義」を丁寧にまとめていきたいと思います。

なお、今回の記事では「わかりやすく伝える」という意図はあまりなく、ただただ実直に定義を理解しようという考えで書いています。その点はご理解ください。

2020-01-01

#2020になる数式（マニアック編）：判別式-2020の2次形式

数学素数素数と２次体の整数論日曜数学整数論

2020年最初に作ったアプリが、おかげさまでたくさんの方にみてもらえているようです。

「2020」という数は、

・2つの平方数の和
・3つの平方数の和
・連続する4つの素数の平方数の和
・10連続偶数の平方和

でそれぞれ表せる数らしいので、その性質を可視化するページを作ってみました！#2020になる数式 #大晦日ハッカソン

Interesting properties of 2020.https://t.co/FT2DFTP0XO pic.twitter.com/fxZKJi5Fv9
— tsujimotter (@tsujimotter) 2019年12月31日