tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

合成数のときのウィルソンの定理

数学整数論

突然ですが、100の階乗を101で割ったあまりを考えてみましょう。

実際、計算しようと思うと大変ですが

$100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000$

となります。これを $101$ で割ったあまりは、ちょうど $100$ になります。

ほかにも、 $16!$ は

$16! = 20922789888000$

であり、これを $17$ で割ったあまりは $16$ となります。

実はこれ、一般に成り立つ話なのです！

$p$ を素数として、 $(p-1)!$ を $p$ で割ったあまりを考えます。すると、一般に以下の合同式が成り立ちます。

$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

これをウィルソンの定理と言います。

$-1 \equiv p-1 \pmod{p}$ なので、あまりが $p-1$ だと言って良いわけですね。

ここまではよく知られている事実ですが、 $p$ が合成数のときにはどうなるのだろうか、というのが今日の話です。

昨年行われた数学イベント（日曜数学会）の懇親会で「合成数だけに特別に成り立つような性質があったら面白いよね」という話になりました。そんな性質あったかなとWikipedia「合成数」の記事を開いてみると、こんな事実が書かれていました：

$(n-1)! \equiv 0 \pmod{n}$ 　 $6 \leq n$ である合成数 $n$ はこの式を満たす

ある意味、これが「合成数だけに特別に成り立つような性質はあるか」についての一つの答えになっていますね。

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よくよく考えてみると、この性質は当たり前です。証明してみましょう。

（証明）
$n$ が合成数だとすると

$n = ab$ 　（ $1 < a \leq b < n$ ）

のように因数分解できます。（素因数分解でなくてかまいません。）

ここで $a, b < n$ より、 $a$ も $b$ も

$(n-1)! = (n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$

の因数に入っています。

特に $a < b$ であれば

$(n-1)! = (n-1)(n-2) \cdots b \cdots a \cdots 2 \cdot 1$

なので $n = ab$ が $(n-1)!$ を割り切ることが言えます。

$a = b$ の場合は、 $a$ が $(n-1)!$ を割り切ったあと、 $b$ がさらに $\frac{(n-1)!}{a}$ も割り切ることを示す必要がありますね。

このケースは $n$ が平方数の場合ですが、 $n = ab \geq 6$ であれば $a$ と $b$ は3以上です。この場合、 $2a < ab = n$ になりますので、

$(n-1)! = (n-1)(n-2) \cdots 2a \cdots a \cdots 2 \cdot 1$

という形になっています。よって、 $a$ で2回割り切れることが言えます。したがって、 $(n-1)!$ は $n = ab = a^2$ で割り切れます。

（証明終わり）

ちなみに、 $n < 6$ の合成数は $n = 4$ のケースですが、このときは

$(4-1)! = 6 \equiv 2 \pmod{4}$

となって $0$ にはなりませんね。

当たり前なのですが、言われてみないとなかなか気づかなかったりするので、はっと気づかされると面白いと感じる。そんな定理かなと思います。

他にも合成数のときだけ成り立つような面白い性質をご存知の方がいましたら、よろしければ教えてください。

それでは今日はこの辺で！