部分分数分解の公式

Twitterを眺めていると、とても楽しいツイートが流れてきました。

部分分数分解のこのテクニックなんだ。

知らなかった。 pic.twitter.com/DwfFX3JSB4

— やまごえ@情数教育 (@awellbottom) 2018年4月23日

部分分数分解のテクニックだそうです。私も知りませんでした！

という多項式の積で書かれた分数を、 を使って以下のように置きます。

この を求めよ、というのが部分分数分解の問題です。

積分定数とは何だったのか

数学ガール「ポアンカレ予想」を読んでいて（あまり本題に関係なく）感動したのが、不定積分 についてです。

の不定積分は、原始関数 を用いて以下のように表せます。

ここで、 は積分定数です。

高校の時からずっと機械的に（もしくはおまじない的に）

「 は積分定数である」

と書いてきたわけですが、この積分定数とは一体何か、というのが今回の主題です。

考えを進めていったら、昨日ブログで書いたド・ラームコホモロジーも出てきてびっくり。よかったら最後まで御覧ください。

昨日の記事：
tsujimotter.hatenablog.com

S^1のド・ラームコホモロジーとフーリエ級数の定数項

数学ガールの第６巻「ポアンカレ予想」がついに発売されましたね。tsujimotterも夢中になって読んでいます*1。

今回の数学ガールのテーマは「ポアンカレ予想」です。「位相空間」や「多様体」といった幾何学のトピックがたくさん登場して、普段は数論ばかりで幾何学に触れてこなかったtsujimotterにとっては、大変勉強になる本となっています。数学ガールを読んで、頭の中が幾何学モードになっています。

さて、本日のブログ記事の主役は 「ド・ラームコホモロジー」 です。ド・ラームコホモロジー、多様体という幾何学的な対象の上で考えられる「微分積分」に深く関連した重要な概念です。以前からブログに書きたいと思っていたのですが、なかなか取りかかれませんでした。せっかく頭が幾何学モードになっているので、熱があるうちにブログにまとめたくなったのです。

「ド・ラームコホモロジー」については、以下の本の３章が大変参考になります。今回の記事の元ネタでもあります。

コホモロジー

少し長い話になりますが、面白い内容だと思いますので、ぜひ最後まで読んでもらえると嬉しいです。

*1:tsujimotterは数学ガールの大ファンで、全巻持っています。札幌に住んでいた頃（ちょうど第５巻が発売された頃ですが）は、数学ガール読書会なるイベントを開いたこともありました

ヘンゼルの補題と7進法人間

みなさん、ヘンゼルの補題 という定理をご存知でしょうか。

ヘンゼルの補題は、整数論についてのとても重要な定理の一つです。 進数 という、現代の整数論において必須とも言える概念とも深く関連します。

でも、ちょっとだけややこしい。今日はこの定理の紹介を試みようと思います。

近況報告（2018年4月）

しばらくブログの更新をしていなかったので、久しぶりに私の日曜数学に関する近況報告をしようと思います。

センター試験2018 数学Ⅰ・数学A 第4問

2018年のセンター試験の問題が気になって 数学Ⅰ・A だけ解いてみました。どれもなかなか面白い問題だったのですが、特に 第4問 が個人的に面白かったので、今日はその問題の解説をしたいと思います。

諸注意：
本ブログ記事は、日曜数学者 tsujimotter が趣味で勉強した内容を発表するブログ記事であり、受験生向けの解説記事ではありません。「センター試験の問題を遊びで解いてみた」という程度の内容となっておりますので、予めご了承ください。

楕円曲線のハッセの定理

　今日は、前回紹介した「合同ゼータ関数のリーマン予想（ヴェイユ予想）」の応用を紹介したいと思います。
tsujimotter.hatenablog.com

　楕円曲線の 有理点の個数には面白い法則があります。

　 上定義された楕円曲線 の 有理点全体を としたとき、その位数は

の不等式によって評価できます。これが、楕円曲線の ハッセの定理 と呼ばれるものです。ハッセの定理によって、 上の楕円曲線の有理点の個数を見積もることができます。

意味としては「 上の有理点の個数と はかなり近くて、その誤差の大きさは で抑えられる」ということです。

　実はこのハッセの定理は、合同ゼータ関数のリーマン予想の帰結となっていて、今日はこのことについて解説したいと思います。ハッセの定理の他に、ラマヌジャン予想にも少し触れたいと思います。