楕円曲線のハッセの定理 - tsujimotterのノートブック

　今日は、前回紹介した「合同ゼータ関数のリーマン予想（ヴェイユ予想）」の応用を紹介したいと思います。
tsujimotter.hatenablog.com

　楕円曲線の $\newcommand{\f}{\mathbb{F}} \f_p$ 有理点の個数には面白い法則があります。

　 $\f_p$ 上定義された楕円曲線 $E$ の $\f_p$ 有理点全体を $E(\f_p)$ としたとき、その位数は

$\left|(p+1) - \# E(\f_p)\right| \leq 2\sqrt{p} \tag{1}$

の不等式によって評価できます。これが、楕円曲線のハッセの定理と呼ばれるものです。ハッセの定理によって、 $\f_p$ 上の楕円曲線の有理点の個数を見積もることができます。

意味としては「 $\f_p$ 上の有理点の個数と $p + 1$ はかなり近くて、その誤差の大きさは $2 \sqrt{p}$ で抑えられる」ということです。

　実はこのハッセの定理は、合同ゼータ関数のリーマン予想の帰結となっていて、今日はこのことについて解説したいと思います。ハッセの定理の他に、ラマヌジャン予想にも少し触れたいと思います。

例

　具体例として、 $\f_p$ 上定義された楕円曲線 $E : Y^2 = X^3 - X$ に対して、 $p > 3$ で $\f_p$ 有理点の個数 $\# E(\f_p)$ を数えてみましょう *1。

　 $x, y \in \{ 0, 1, 2, 3, 4\}$ を $Y^2 \equiv X^3 - X \pmod{p}$ に代入していったとき、合同式が成立する組 $(x, y)$ が $E(\f_p)$ の元となります。ただし、無限遠点 $O$ も $E(\f_p)$ に入れる必要がある点に注意します。

　たとえば $\f_5$ においては

$E(\f_5) = \{ O, \; (0, 0), \; (1, 0), \; (2, 1), \; (2, 4), \; (3, 2), \; (3, 3), \; (4, 0) \}$

と計算できます。よって、 $\# E(\f_5) = 8$ です。

　同様に $E(\f_5), E(\f_{7}), E(\f_{11}), E(\f_{13})$ について（無限遠点を除いて）プロットしたものがこちらになります。

f:id:tsujimotter:20180104153151p:plain:w420

　もう少し詳しく分析するために $p < 100$ まで数えると、以下の表の通りとなります。

$p$	$\# E(\f_p)$	$(p+1)-\# E(\f_p)$
$3$	$4$	$0$
$5$	$8$	$-2$
$7$	$8$	$0$
$11$	$12$	$0$
$13$	$8$	$6$
$17$	$16$	$2$
$19$	$20$	$0$
$23$	$24$	$0$
$29$	$40$	$-10$
$31$	$32$	$0$
$37$	$40$	$-2$
$41$	$32$	$10$
$43$	$44$	$0$
$47$	$48$	$0$
$53$	$40$	$14$
$59$	$60$	$0$
$61$	$72$	$-10$
$67$	$68$	$0$
$71$	$72$	$0$
$73$	$80$	$-6$
$79$	$80$	$0$
$83$	$84$	$0$
$89$	$80$	$10$
$97$	$80$	$18$

　今回の例では、 $(p+1) - \# E(\f_p)$ は半分近くがゼロになってしまい、 $\# E(\f_p)$ は $p+1$ に「かなり近い」ことがわかりますね。この現象はハッセの定理には直接関係ないのですが、今回具体例として選んだ $E: Y^2 = X^3 - X$ がたまたま「虚数乗法を持つ」という特別なタイプの楕円曲線だったために生じたものです。

　さて、虚数乗法を持つ持たないに関わらず、ハッセの定理は成り立っています。 $(p+1) - \# E(\f_p)$ （紫色の点）と $2\sqrt{p}$ （緑線）のグラフを書いて比較してみましょう。

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　たしかに、成り立っていますね。ギリギリの点もありつつも、綺麗に $2\sqrt{p}$ に収まっていることがわかります。

　このあたりのグラフは、プログラムが書ければ簡単に確認できますので、よかったら遊んでみてください。使用した Ruby のプログラムは以下に置いておきます。

楕円曲線のハッセの定理を確認するRubyプログラム · GitHub

楕円曲線の合同ゼータ関数

ここではハッセの定理を示すために、 $X$ を楕円曲線 $E$ としたときの合同ゼータ関数 $\zeta_{E/\f_p}(s)$ を計算したいと思います。

合同ゼータ関数の定義は前回の記事を見ていただくとして、楕円曲線の場合の行列式表示は

$\displaystyle \newcommand{\frob}{\mathrm{Frob}} \zeta_{E/\f_p}(s) = \frac{ \mathrm{det}(1 - p^{-s} \frob_p | H^1(E) ) }{\mathrm{det}(1 - p^{-s} \frob_p | H^0(E) ) \; \mathrm{det}(1 - p^{-s} \frob_p | H^2(E) )} \tag{2}$

と表せます。

　ここで、0, 1, 2 次エタール・コホモロジー $H^k(X)$ に対する $\frob_p$ の作用を考えれば合同ゼータ関数が決定できます。

　しかしながら、ここではもう少し直接的に考えたいと思います。そのための準備としてテイト加群（Tate module）を定義します。

　一般に $F$ 上定義された楕円曲線 $E/F$ の $m$ 等分点を $E[m]$ としたとき、 $l$ を素数として $E$ の $l^n$ 等分点は

$\cdots \xrightarrow{\times l} E[l^{n+1}] \xrightarrow{\times l} E[l^{n}] \xrightarrow{\times l} \cdots \xrightarrow{\times l} E[l^{2}] \xrightarrow{\times l} E[l]$

という系列をなします。この系列の逆極限をとったものがテイト加群 $T_l(E)$ です。 $F$ の標数が $l$ と異なれば

$\displaystyle E[l^n] \simeq \mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z} \tag{3}$

という構造となり、その逆極限を考えるから

$\displaystyle T_l(E) \simeq \mathbb{Z}_l \oplus \mathbb{Z}_l \tag{4}$

となり階数 $2$ の $\mathbb{Z}_l$ 加群となります。

　このテイト加群に対しては、自然に $\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)$ が作用し、さらに 1 次エタールコホモロジーとの間の同型

$H^1_{et}(E\otimes_F \overline{F}, \mathbb{Q}_l) \simeq T_l(E) \otimes_{\mathbb{Z}_l} \mathbb{Q}_l$

が成り立ちます（ただし、ガロア群の作用は少しずれます）。したがって、エタールコホモロジーの代わりに、テイト加群を考えてもよいということになります。

　 $F = \f_p$ として、テイト加群 $T_l(E)$ に対するフロベニウスの作用を考えることで、次の式を得ることができます。

$\# E(\f_{p^m}) = 1 - (\alpha^m + \beta^m) + p^m \tag{7}$

　 $\alpha, \beta$ は、 $T_l(E)$ に対するフロベニウス作用素 $\frob_p$ の作用に対する固有値です。導出の過程は少し長いので、以下の枠内は読みたい方だけどうぞ。

フロベニウス $\frob_p: E \to E, (x, y) \mapsto (x^p, y^p)$ によって誘導される写像 $\phi_{p} : T_l(E) \to T_l(E)$ を考えると、次が成り立ちます*2。

$\begin{align} \mathrm{det}(\phi_{p}^m) &= p^m \tag{5} \\ \mathrm{det}(1 - \phi_{p}^m) &= \# \mathrm{Ker}(1 - \frob_{p}^m) \tag{6} \end{align}$

　式 $(6)$ の右辺の $\mathrm{Ker}$ は $(1 - \frob_{p}^m)(P) = O$ となる $P \in E$ であるから、 $\frob_{p}^m$ で固定される点の個数、すなわち、 $\# E(\f_{p^m})$ と一致します。したがって

$\# E(\f_{p^m}) = \mathrm{det}(1 - \phi_{p}^m)$

が得られます。右辺は $2\times 2$ 行列 $\phi_{p}^m$ の固有多項式 $\mathrm{det}(1 - T\phi_{p}^m)$ において、 $T = 1$ としたものです。固有多項式は、ケーリー・ハミルトンよりトレースと行列式で表せるから

$\# E(\f_{p^m}) = 1 - \mathrm{Tr}(\phi_{p}^m) + \mathrm{det}(\phi_{p}^m)$

となります。

　トレースは固有値の和で表すことができ、基底変換に対するトレースの不変性より、行列 $A$ のべき乗 $A^m$ に対するトレースは $A$ の固有値のべき乗の和で表せます。したがって、 $\phi_p$ の固有値を $\alpha, \beta$ とすると $\mathrm{Tr}(\phi_{p}^m) = \alpha^m + \beta^m$ と表せます。よって

$\# E(\f_{p^m}) = 1 - (\alpha^m + \beta^m) + p^m \tag{7再掲}$

が得られます。

　式 $(7)$ を「レフシェッツ不動点定理」を用いて解釈することができます。レフシェッツ不動点定理を楕円曲線 $E$ に適用すると

$\newcommand{\frob}{\mathrm{Frob}} \begin{align} \# E(\f_{p^m}) &= \sum_{k=0}^{2\mathrm{dim}(X)} (-1)^k \mathrm{Tr}(\frob_p^m | H^k(E) ) \\ &= \mathrm{Tr}(\frob_p^m | H^0(E) ) - \mathrm{Tr}(\frob_p^m | H^1(E) ) + \mathrm{Tr}(\frob_p^m | H^2(E) ) \end{align}$

となりますが、式 $(7)$ と対応させると

$\begin{align} \mathrm{Tr}(\frob_p^m | H^0(E) ) &= 1 \\ \mathrm{Tr}(\frob_p^m | H^1(E) ) &= \alpha^m + \beta^m \\ \mathrm{Tr}(\frob_p^m | H^2(E) ) &= p^m \end{align}$

となります。

　ところで、今の結論は私には少し不思議に移ります。というのも、 $T_l(E)$ は１次コホモロジーに対応するはずなので、０次や２次コホモロジーの情報は持っていないように思えるのです。しかしながら上の計算によって、なぜか $T_l(E)$ に対してすべての次数の情報を取り出せています。どういうことなんでしょうか。

　さて、楕円曲線 $E$ の合同ゼータ関数 $\zeta_{E/\f_p}(s)$ は式 $(7)$ を用いて直ちに得られます。

$\begin{align} \zeta_{E/\f_p}(s) &= \exp\left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{|E(\f_{p^m})|}{m}p^{-ms} \right) \\ &= \exp\left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1 - (\alpha^m + \beta^m) + p^m}{m}p^{-ms} \right) \\ &= \exp\left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m}p^{-ms} - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{\alpha^m}{m} p^{-ms} - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{\beta^m}{m} p^{-ms} + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{p^m}{m}p^{-ms} \right) \\ &= \exp\left( - \log(1 - p^{-s}) + \log(1 - \alpha p^{-s}) + \log(1 - \beta p^{-s}) - \log(1 - p^{1-s}) \right) \\ &= \frac{(1-\alpha p^{-s})(1-\beta p^{-s})}{(1- p^{-s})(1- p^{1-s})} \\ \end{align}$

　これで合同ゼータ関数が得られました。

　結論の式をみると、テイト加群に対するフロベニウスの作用に対する固有値 $\alpha, \beta$ が合同ゼータ関数の零点に対応していることがわかります。0, 2 次のコホモロジーに対応する多項式は分母に来ていて、それぞれ $s = 0, s = 1$ の極に対応しています。極に関しては、リーマン予想が成り立っていることが確認できますね。

　さて、本題はハッセの定理でした。ハッセの定理を導くためには、式 $(7)$ の $m = 1$ の場合だけで十分です。

$\# E(\f_{p}) = 1 - (\alpha + \beta) + p$

を移項して絶対値をとると

$\left|(p+1) - \# E(\f_{p})\right| = \left|\alpha + \beta\right|$

が得られます。

　ここで、合同ゼータ関数のリーマン予想 $|\alpha| = |\beta| = p^{1/2}$ より

$\left|(p+1) - \# E(\f_{p})\right| \leq |\alpha| + |\beta| = 2p^{1/2}$

となり、ハッセの定理が得られます。

ハッセ・ヴェイユ境界

　楕円曲線は種数１の代数曲線であり、１次元アーベル多様体となります。そのため、 $\dim(X)$ を $1$ として合同ゼータ関数を考えることができました。一般に種数 $g$ の代数曲線の場合はどうなるでしょうか。

　たとえば、代数曲線 $C: X^4 + Y^4 + 1 = 0$ は種数が $3$ の曲線となります。この曲線は「tsujimotter の 29 予想」の記事で登場したものですね。
tsujimotter.hatenablog.com

　種数が $1$ より大きい曲線の場合、 $C(\f_p)$ はもはや群構造を持ちませんので、同様の議論ができなくなってしまいます。このようなケースにおいても、代数曲線 $C$ のヤコビ多様体 $J = Jac(C)$ を考えると、 $J$ にアーベル群の構造を持たせることができ、 $g$ 次元のアーベル多様体となります（楕円曲線 $E$ の場合は、ヤコビ多様体が $E$ 自身に一致します）。

　このヤコビ多様体 $J$ に対してテイト加群 $T_l(J)$ を考えることができ、楕円曲線と同様の議論を復活させることができます。実際、 $T_l(J)$ は以下のように $J$ の１次エタールコホモロジーと同型になります。

$H^1_{et}(C\otimes_F \overline{F}, \mathbb{Q}_l) \simeq H^1_{et}(J\otimes_F \overline{F}, \mathbb{Q}_l) \simeq T_l(J) \otimes_{\mathbb{Z}_l} \mathbb{Q}_l \simeq \mathbb{Q}_l^{2g}$

　 $T_l(J )$ は $2g$ 次元の $\mathbb{Q}_l$ ベクトル空間となるため、固有値は $2g$ 個です。よって、合同ゼータ関数のリーマン予想より

$\displaystyle \left|(p+1) - \# C(\f_p)\right| \leq \sum_{k=1}^{2g}|\alpha_k| = 2g\sqrt{p} \tag{8}$

を言うことができます。

　これがハッセ・ヴェイユ境界（Hasse-Weil bound）です。

　このハッセ・ヴェイユ境界は、まさに「tsujimotter の 29 予想」において大活躍した定理でしたね。 $X^4 + Y^4 + 1 = 0$ の $\f_p$ 上の点の個数を下から抑えるために用いられました。当時はまったく知りませんでしたが、今回紹介したような高度な背景を持つ定理だったということです。

ラマヌジャン予想

　せっかくなので、もう一つだけ応用例を紹介します。ラマヌジャンの $\Delta$ という保型形式に対しては、ラマヌジャン予想が知られています。実は、ラマヌジャン予想も合同ゼータ関数のリーマン予想の帰結になっています。

　ラマヌジャンの $\Delta$ は次の無限積によって定義される、カスプ形式と呼ばれるタイプの保型形式です。

$\displaystyle \Delta(\tau) = q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^{24}, \;\; q = e^{2\pi i \tau} \tag{9}$

　ここで、式 $(9)$ を展開して、 $q^n$ の係数を $\tau(n)$ と定義します。つまり

$\displaystyle q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^{24} = \sum_{n=1}^{\infty} \tau(n) q^n \tag{10}$

として $\tau(n)$ という数列が定義されます。

　この数列 $\tau$ を、素数 $p$ に対して考えると、ハッセの定理と同様の形をした以下の不等式が成り立ちます。これがラマヌジャン予想です。

$\displaystyle |\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \tag{11}$

ラマヌジャン予想の具体的な計算については、以下の記事で行っていますので、興味がある方はごらんください。
tsujimotter.hatenablog.com

　今日は、このラマヌジャン予想がリーマン予想とどのように関連するかをお話したいと思います。合同ゼータ関数のリーマン予想に帰着させるためには、ラマヌジャンの $\Delta$ に対応する代数多様体を考える必要があります。ここでは、久我・佐藤多様体と呼ばれる $11$ 次元代数多様体 $X$ を考えるとよいそうです。

ちなみに $11$ 次はラマヌジャンの $\Delta$ のウェイトである $12$ から $1$ を引いたものですが、この数にもちゃんと意味はあるらしいです。

　 $X$ の合同ゼータ関数 $\zeta_{X/\f_p}(s)$ を考えると、その因子として

$P_{11}(p^{-s}) = 1 - \tau(p) p^{-s} + p^{11} p^{-2s}$

が表れ *3、対応する $11$ 次エタール・コホモロジー $H^{11}(X)$ は 2 次元のベクトル空間となります。

　 $H^{11}(X)$ に対する $\frob_p$ の作用を考えて、その固有値を $\alpha, \beta$ とすると、合同ゼータ関数のリーマン予想より $|\alpha| = |\beta| = p^{11/2}$ であるから

$\displaystyle |\tau(p)| = |\mathrm{Tr}(\frob_p | H^{11}(X) )| = |\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta| = 2p^{11/2}$

となります。このように、ラマヌジャン予想を合同ゼータ関数のリーマン予想に帰着することができます。この結果を用いて、ラマヌジャン予想はドリーニュにより証明されました。

　「ラマヌジャン予想を合同ゼータのリーマン予想（ヴェイユ予想）に帰着させて証明された」という事実は、一般向けの本にもよく登場する話なので、お話だけは私も知っていたのですが、実際どのように帰着させるかはまったく明らかではありませんでした。今回この話を知ることができたのは、大変収穫でした（参考文献の伊藤先生のPDFのおかげです）。

まとめ

　今回は「合同ゼータ関数のリーマン予想（ヴェイユ予想）」の応用として、３つの例を紹介しました。

ハッセの定理（楕円曲線）
ハッセ・ヴェイユ境界（代数曲線のヤコビ多様体）
ラマヌジャン予想（久我・佐藤多様体）

　まとめると、このような関係となります。

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　以前からブログに書いていた通り、「ハッセの定理（ハッセ・ヴェイユ境界）」も「ラマヌジャン予想」も私にとって関心のある対象でした。実は、以前から二つの定理の間にはつながりがあることを知っていて、（知ったかぶりながら）そのことについて人前で熱くプレゼンしたこともあったくらい思い入れのある話だったのです。今回は、二つの間にたしかに関係があることを、一段深いレベルで実感することができてよかったです。とても楽しかった。

　これだから数学はやめられないですね。

　それでは今日はこの辺で。