センター試験2018 数学Ⅰ・数学A 第4問 - tsujimotterのノートブック

2018年のセンター試験の問題が気になって数学Ⅰ・A だけ解いてみました。どれもなかなか面白い問題だったのですが、特に第4問が個人的に面白かったので、今日はその問題の解説をしたいと思います。

諸注意：
本ブログ記事は、日曜数学者 tsujimotter が趣味で勉強した内容を発表するブログ記事であり、受験生向けの解説記事ではありません。「センター試験の問題を遊びで解いてみた」という程度の内容となっておりますので、予めご了承ください。

センター試験数学Ⅰ・数学A 第4問

第4問は「整数の性質」を扱う問題です。ここ3年ほどは、第4問は整数問題で固定のようですね。

問題自体は「センター試験数学」等で検索すれば、予備校が公開している問題（と解答）の情報にアクセスできるかと思います。私が参考にしたのは、東進さんのサイトです。
www.toshin.com

私の解説を読む前に、まずは問題文をご一読ください。ご自身で解いてみてもいいかもしれません。

それでは、準備ができたら解説にいきましょう。

(1) 144 を素因数分解すると・・・

まずは問題文から。カタカナの「 $アイウエオ$ 」が解答箇所です。それぞれ、 $0 \sim{} 9$ の数字が１文字ずつ入ります。

(1) $144$ を素因数分解すると
$144 = 2^{ア}\times イ^ウ$
であり， $144$ の正の約数の個数は $エオ$ 個である。

最初の問題は素因数分解の問題ですね。受験生にとってはどうかわかりませんが、日頃、素数大富豪で素因数分解に親しんでいる人*1 にとっては楽勝だったのではないでしょうか。

素因数分解が即座に思い浮かばなければ、 $144$ は $12$ の $2$ 乗であることを思い出すとよいでしょう。 $12 = 2^2 \times 3$ より、以下が得られます。

$144 = 12^2 = (2^2 \times 3)^2 = 2^4 \times 3^2$

よって、 $ア = 4, イ = 3, ウ = 2$ となります。

ちなみに、 $20$ 以下の自然数の $2$ 乗は次の通りです。こんな問題が出たときのために覚えておくと良さそうですね。

$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
$9^2 = 81$
$10^2 = 100$
$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
$14^2 = 196$
$15^2 = 225$
$16^2 = 256$
$17^2 = 289$
$18^2 = 324$
$19^2 = 361$
$20^2 = 400$

残りの問題は、 $144$ の正の約数についてです。約数とは、その数を割り切る整数のことですから、順番に割っていけばいいですね。とはいえ、 $1$ から $144$ まで割り続けていくのも大変ですから、もっとスマートな方法が必要になります。ここでは、先ほどの素因数分解の結果を使います。

約数に慣れている人は、以下の重要な性質を知っているかと思います。思い出せなかった人は、ぜひここで覚えていってください。

約数の和の性質

自然数 $n$ が

$n = p^a q^b r^c \cdots$

と素因数分解できるとき， $n$ の約数は

$(1 + p + p^2 + \cdots + p^a) \times (1 + q + q^2 + \cdots + q^b) \times (1 + r + r^2 + \cdots + r^c) \times \cdots$

の式を展開したときの項として，すべて１度ずつ現れる．

今回の $144$ は $144 = 2^4 \times 3^2$ と表せますから、その約数は

$(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) \times (1 + 3 + 3^2) \tag{1}$

の式を展開したときの項として現れます。たとえば、 $24 = 2^3 \times 3$ は $144$ の約数ですが、上の式の $2^3$ と $3$ を掛け合わせた項として現れますね。もちろん、素因数分解の一意性より、ほかの組み合わせでは $24$ が現れないことに注意しましょう。

求めるべきは、 $144$ の約数の項数ですから、式 $(1)$ を展開したときの項数を数えれば良いとわかります。これは実際に展開して数えなくとも

$（式(1)） = （5項） \times （3項）= （15項）$

より、 $15$ 項とわかります。よって、正の約数の個数は $エオ = 15$ となります。

(2) 不定方程式

それでは次の問題です。カタカナの「 $カキクケコサシ$ 」にそれぞれ、 $0 \sim{} 9$ の数字を１文字ずつ入れてください。

(2) 不定方程式
$144x - 7y = 1$
の整数解 $x, y$ の中で， $x$ の絶対値が最小になるのは
$x = カ, \;\; y = キク$
であり，すべての整数解は， $k$ を整数として
$x = ケk + カ, \;\; y = コサシk + キク$
と表される。

この問題のテーマは「１次不定方程式」です。すなわち、１次の方程式の整数解を求める問題です。力づくで $x, y$ に整数を入れていってもそれなりの時間で解を求めることもできますが、今回は最大公約数に着目した方法を紹介します。

後から気づいたのですが、今回の問題であれば実際に力づくで入れていった方が早く計算できそうです。以下の方法は、（今回の問題に対しては）少し時間がかかるかもしれませんが、私のお気に入りの方法なのでぜひ紹介させてください。

今回の方程式の定数は $144, 7$ です。この２つの数の最大公約数は、後で計算するように $1$ となります。この場合は、 $x, y$ に適当な整数を入れると $1$ にすることができるのです。

一方で、 $4, 6$ のように、どちらも約数 $2$ を持つ場合には、そうはいきません。 $4x - 6y$ の $x, y$ にどんな整数を入れても $2$ の倍数にしかならないからです。このことは

$4x - 6y = 2\times (2x - 3y)$

と変形すればすぐにわかります。 $2 \times （整数）$ となり、これは偶数ですから、明らかに $1$ に一致しません。

というわけで、 $144, 7$ の最大公約数 $(144, 7)$ を計算することにしましょう。一般に $a, b$ の最大公約数 $(a, b)$ には

$(a, b) = (a - b, b)$

という重要な性質があります。これを使うと、大きな数同士の最大公約数を小さい数同士の最大公約数に帰着させることができます。最終的には、これ以上引き算できないところに到達して、最大公約数が求まります。

このような計算を「ユークリッドの互除法」といいますね。仰々しい名前がついていますが、臆することはありません。互いに互いを引き算しあって、残ったものが最大公約数であるというだけのことです。

$(144, 7)$ の計算は以下のように実行できます。

$\begin{align} (144, 7) &= (4, 7) \\ &= (4, 3) \\ &= (1, 3) \\ &= 1 \end{align}$

１行目では、 $144$ から $7$ を $20$ 回引き算しています。２行目では、 $7$ から $4$ を引き算しています。３行目では、 $4$ から $3$ を引き算しています。最後に $1, 3$ が残りましたが、両者の最大公約数は明らかに $1$ とわかりますね。

今の式変形を明示的に書き直すと次のようになります。

$\require{color} \newcommand{\a}{{\color[rgb]{1.000000,0.0,0.0}144}} \newcommand{\b}{{\color[rgb]{0.000000,0.501961,0.000000}7}} \newcommand{\c}{{\color[rgb]{0.000000,0.501961,1.000000}1}} \begin{align} \a &= 20\times \b + 4 \\ \b &= 4 + 3 \\ 4 &= 3 + \c \end{align} \tag{2}$

さて、このように準備しておくと、驚くべきことに、元の１次不定方程式

$\a x - \b y = \c$

があっという間に解けるのです。やってみましょう。

式 $(2)$ の一番下の式は

$4 - 3 = \c$

とかけます。右辺の $\c$ ができたので、左辺の $4, 3$ を $\a, \b$ を使って表したい。

ちょうどよい具合いに $4$ は式 $(2)$ の一番上で、 $3$ は式 $(2)$ の真ん中の式で表せていることに気づきます。これらをそれぞれ「代入」しましょう。

$(\a - 20 \times \b) - (\b - 4) = \c$

また $4$ が出てきましたので、もう一度式 $(2)$ の一番上を代入します。すると

$(\a - 20 \times \b) - (\b - (\a - 20 \times \b)) = \c$

が得られます。

これで、 $4, 3$ を $\a, \b$ を使って表すことができました。あとは、式を展開すればよいわけですが、気をつけるポイントがあります。それは、「数を文字変数と思って式変形する」ということです。

多項式であれば、 $X, Y$ 等を文字変数と思って式変形することには慣れているかと思います。それと同じことを、 $\a$ や $\b$ を文字変数だと思って実行するのです。 $\a$ や $\b$ は文字変数だと思っているので、それ自身を変化させるような計算をしてはいけません。

以上に気をつけると

$\begin{align} &(\a - 20 \times \b) - (\b - (\a - 20 \times \b)) \\ &\a - 20 \times \b - \b + \a - 20 \times \b \\ &\a + \a - 20 \times \b - 20 \times \b - \b \\ &= 2\times \a - 41 \times \b \end{align} \tag{3}$

となり

$2\times \a - 41 \times \b = \c$

が得られます。以上により、１次不定方程式 $\a x - \b y = \c$ の整数解 $x = 2, y = 41$ を得ることができました。

勢いで $カキク$ の答えを書いてしまいそうになりますが、一旦落ち着いて問題文を見直しましょう。問題には「 $x$ の絶対値が最小になるのは」とあります。不定方程式の解は１つではないのです。

ここで「むっ」っと上の式を睨みつけてみると

$(2 + \b)\times \a - (41 + \a) \times \b = \c$

という式も成り立つことがわかります。左辺の１項目と２項目から出てくる $\a \times \b$ が互いに打ち消しあうためです。また、同様に $k$ を整数として

$(2 + \b k)\times \a - (41 + \a k) \times \b = \c \tag{4}$

としても等式が成り立つことがわかるでしょう。実はこの式 $(4)$ が不定方程式の一般解となります。

一般解のうち $2 + \b k$ の絶対値が最小となるのは $k=0$ のときですから、今回はたまたま $x = 2$ としてよかったわけですね。よって、 $カ = 2, \;\; キク = 41$ が得られました。さらに式 $(4)$ より $ケ = 7, \;\; コサシ = 144$ も得られました。

これで不定方程式一丁あがりです。

(3) 144 の倍数で・・・

特に面白かったのは次の問題 (3) です。ここまで、 $144$ の素因数分解（問題 (1)）と $144, 7$ に関する不定方程式の一般解（問題 (2)）を求めてきたわけですが、問題 (3) で両者が結びつきます。センター試験の作問者の意図に気付いたとき、私は感激して問題を解くどころではありませんでした。

それでは、問題にいきましょう。カタカナの「 $スセソ$ 」にそれぞれ、 $0 \sim{} 9$ の数字を１文字ずつ入れてください。

(3) $144$ の倍数で， $7$ で割ったら余りが $1$ となる自然数のうち，正の約数の個数が $18$ 個である最小のものは $144 \times ス$ であり，正の約数の個数が $30$ 個である最小のものは $144 \times セソ$ である。

この問題には、先ほど求めた式 $(4)$ が役に立ちます。式 $(4)$ を移行すると

$(2 + 7 k)\times \a = (41 + 144 k) \times \b + \c \tag{5}$

となります。この式を素直に解釈すると

左辺は $\a$ の倍数
右辺は $\b$ で割ったら $\c$ あまる数

となっています。一次不定方程式の解の一般性から、上記２つの条件を満たす自然数は $k$ を動かすことで、すべて列挙できることもわかっています。この事実を使って、 $k$ を動かしつつ、所与の数を探していけばいいことになります。

見つけたい数は「約数の個数が $18$ 個である最小のもの」と「約数の個数が $30$ 個である最小のもの」でした。さらに、左辺 $144$ の約数の個数は $5 \times 3 = 15$ 個であることもわかっています。この事実を使って、目的の数を見つけるにはどうすればよいでしょうか。

ここで再度登場するのが、(1) で使った「約数の和の性質」です。再掲しましょう。

約数の和の性質（再掲）

自然数 $n$ が

$n = p^a q^b r^c \cdots$

と素因数分解できるとき， $n$ の約数は

$(1 + p + p^2 + \cdots + p^a) \times (1 + q + q^2 + \cdots + q^b) \times (1 + r + r^2 + \cdots + r^c) \times \cdots$

の式を展開したときの項として，すべて１度ずつ現れる．

まず、約数の個数 $18$ の方からいきましょう。 $144$ に「ある数」をかけて約数を $15$ 個から $18$ 個にしたいわけです。もともとの $144$ は $144 = 2^4 \times 3^2$ と素因数分解されるので、約数の個数は $15 = 5 \times 3$ だったわけです。たとえば $2$ をかけて $2^5$ とすれば、約数の個数は $6 \times 3 = 18$ となりますね。

これで、条件を満たす数が一つ見つかってしまったわけですが、一応他の可能性も考えましょう。 $18$ は

$18 = 18 \times 1$ （ $2$ の指数が $17$ ， $3$ の指数が $0$ ）
$18 = 9 \times 2$ （ $2$ の指数が $8$ ， $3$ の指数が $1$ ）
$18 = 6 \times 3$ （ $2$ の指数が $5$ ， $3$ の指数が $2$ ）

のように表せますが、 $144$ に因数 $3^2$ がある以上、上の二つのパターンはありえませんね。したがって、 $18 = 6 \times 3$ のパターンだけを考えれば十分です。よって

$(2 + 7 k)\times 144$

としたときの $2 + 7k$ として「 $2$ を素因子として持ち」「その指数は $1$ であり」かつ「ほかの素因子を持たない」ものを考えればよいとわかります。こんな $2 + 7k$ 型の数は $2$ だけですね。したがって、 $ス = 2$ とわかります。

次に、約数の個数 $30$ の方ですが、こちらは以下のパターンが考えられます。

$30 = 10 \times 3$ （ $2$ の指数が $9$ ， $3$ の指数が $2$ ）
$30 = 6 \times 5$ （ $2$ の指数が $5$ ， $3$ の指数が $4$ ）
$30 = 5 \times 6$ （ $2$ の指数が $4$ ， $3$ の指数が $5$ ）
$30 = 5 \times 3 \times 2$ （ $2$ の指数が $4$ ， $3$ の指数が $2$ ， $2, 3$ 以外の素因子 $p$ の指数が $1$ ）