本日 11/11 はレピュニット(1が続く数)の日ですね。毎年この日が来るとtsujimotterはこちらの記事をTwitterに投稿しています。
tsujimotter.hatenablog.com
この日は数学が好きな人たちの間でも、レピュニット関連の話題がたくさん投稿されるのですが、特に鯵坂もっちょさんのこちらの投稿が気になりました。
11/11ですが pic.twitter.com/6MATw4sGfZ
— 鯵坂もっちょ🐟 (@motcho_tw) 2019年11月11日
レピュニットは
とかける数のことですが
という多項式を考えて、 を代入したもの、だと考えてもいいわけです。
このように考えると、多項式 の既約分解を考えることで、レピュニットの因数分解を得ることができます。たとえば
という多項式の既約分解を考えることで、 と代入してレピュニットの因数分解
が得られるというわけですね。
これは面白い見方だと思いました。
一方で、 を考えると、これはよく知られているように 上既約な多項式です。たとえば、証明はこちらに載っています。
biteki-math.hatenablog.com
一般に、素数を として、 は既約であることが示せます。
ところで、この に を代入したレピュニットは、素数にはならず、以下のように素因数分解されます。
すなわち、 が既約だからといって、 が素数であるとは限らないというわけですね。
それはたしかにそうなのですが、もう少し踏み込んだ議論ができないかと思いました。そこでこんなツイートをしたわけです。
この見方は面白いな。円分多項式の既約性と対応づけられないかなと思って考えてました。
— tsujimotter ロマ数本好評発売中!! (@tsujimotter) 2019年11月11日
一方で、たとえばX^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1はQ上既約だけど、1111111 = 239 × 4649 と割り切れてしまう。上手い解釈はできないかな。
このツイートに対して、梅崎さんと山田さんのお二方から、円分体の分解法則と関連づけられそうだという情報をいただきました。今回は、それをまとめて見たいと思います。