2025-09-11

ヴェイユ予想ってなんだろう

数学整数論代数幾何おすすめの記事

こんにちは、日曜数学者のtsujimotterです。

今日はヴェイユ予想と呼ばれる大定理を紹介します。

ヴェイユ予想は、一見すると抽象的な代数幾何の定理ですが、その出発点は「mod p での解の個数」という素朴な問いです。
ところが答えを追ううちに、複素数上での方程式の「形」が関わってくる、というまさに壮大な物語です。

最終的には、具体的に方程式の解の個数を評価する不等式にまでたどり着きます。
ぜひ最後までお付き合いください！

2025-09-05

平方剰余の相互法則の証明（第Ⅲ証明）の概略

数学整数論ガウス平方剰余の相互法則

お久しぶりです。
今日のテーマは、平方剰余の相互法則の証明についてです。

平方剰余の相互法則を最初に証明したのはガウスです。
彼はこの定理を「黄金定理」と呼ぶほど大切にしており、生前に6つ、没後に発表されたものも含めて7つの異なる証明を与えました。これらは「第Ⅰ証明」から「第Ⅶ証明」と呼ばれています。

平方剰余の相互法則: ガウスの全証明

作者:倉田令二朗
日本評論社

Amazon

このブログでも以前から、平方剰余の相互法則に関する話題を取り上げてきました。
たとえば、証明に関しては

などです。

私自身もこの定理が好きで、特に類体論との関わりから第Ⅵ証明を中心に勉強してきました。
一方で、それ以外の証明にはあまり注意を払っておらず、以前に読んだときもどうも腑に落ちない部分が多かったのです。

しかし最近になって、「どうせ一度の人生だし、全ての証明を理解してみたい」と思い立ち、改めて読み直してみました。すると、一度理解してしまえば案外わかりやすく、しかもとても面白いことがわかりました。

なかでも第Ⅲ証明は、そのシンプルさからウェブ上でも多く解説されています。そのため、自分が取り上げる必要はないと思っていたのですが、実際に理解してみると「これは面白い！」と感じる部分がありました。その魅力をぜひ紹介したいと思います。

というわけで、今回のブログでは平方剰余の相互法則の第Ⅲ証明の概略を紹介します。

正確に言うと、ここで扱うのはガウスの第Ⅲ証明そのものではなく、後に平易化された証明です。

参考にしたのはこちらの本です：

ガウスの黄金定理　平方剰余の相互法則で語る数論の世界 (ブルーバックス)

作者:西来路文朗,清水健一
講談社

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2025-03-19

ラマヌジャンの円周率近似式と連分数展開

数学円周率ラマヌジャンおすすめの記事自由研究・独自研究連分数

シュリニバーサ・ラマヌジャンといえば、インドの魔術師の異名を取る数学者で、魔術的な数式をたくさん発見していることで知られています。

ラマヌジャンは円周率 $\pi$ についても多様な式を発見しています。その発見の一つとして

$\displaystyle \pi \fallingdotseq \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} \tag{1}$

という近似式をご存知の方は多いと思います。

この近似式の精度は驚くほどよいのですが、右辺を計算してみると

$\displaystyle \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = \underline{3.14159265}258\ldots$

となります。下線部が円周率と一致していますが、なんと小数点以下8桁まで一致しています。

有名な円周率の近似式として

$\displaystyle \pi \fallingdotseq\frac{22}{7} = \underline{3.14}2857\ldots$ （約率）

$\displaystyle \pi \fallingdotseq\frac{355}{113} = \underline{3.141592}92\ldots$ （密率）

などの式がありますが、これらと比べてもかなり精度が高いことが分かります。
（前者は「約率」、後者は「密率」という名前がついています。）

約率・密率については以前紹介したことがありました：
tsujimotter.hatenablog.com

この $22/7$ や $355/113$ については、後で述べるように連分数展開がその背景にあります。

一方で、ラマヌジャンの円周率近似式については特に数学的な背景もなさそうで、単なる偶然の産物だろうと思っていました。
（ラマヌジャンは偶然の産物を見つけるのも得意です。）

ところがなんと、ラマヌジャンの円周率近似式にも数学的な背景があったようなのです。しかも、（ $22/7$ や $355/113$ と同じく）連分数展開が背景にあったようなのです。これが今日のメインテーマです。

また、記事の最後には、今回の方法を応用した類似の近似式を見つける方法についても書いています。

とても面白いのでぜひ最後まで読んでいただければと思います！

2025-02-26

群論を知れば循環小数はもっと面白い（1/7や1/13を例に）

数学整数論群論循環小数

今回は「循環小数」の奥深い世界にご招待します。

これまでtsujimotterのノートブックでも何度か取り上げてきたテーマですが、循環小数は一見高校生にも馴染みのある素朴な存在です。しかし、その背後には大学数学の群論という、抽象でありながらも美しい理論が広がっています。

実は、群論の知識をひとたび手にすると、循環小数の見え方が劇的に変わり、より深い魅力に気づくことができるのです。題して

「群論を知れば循環小数はもっと面白い」

というわけです。

本記事では、巡回群や $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 、剰余群といった群論の用語が登場します。これらに少しでも触れたことがある方なら、より一層楽しんでいただけるでしょう。もちろん、群論に不慣れな方でも、循環小数という身近な題材を通じて「数学ってこんな風に深いんだ」と感じるきっかけになれば幸いです。

具体的には、

$\displaystyle \frac{1}{7} = 0.142857142857\ldots$

$\displaystyle \frac{1}{13} = 0.076923076923\ldots$

といった循環小数の計算例からスタートし、その魅力をひも解いていきます。

こういう図や

こういう図

が登場します。

ぜひ最後までご覧になってください。

2025-02-21

（自由研究）20乗数の下2桁が自己同型数になるのはなぜ？

数学日曜数学整数論自由研究・独自研究

早速ですが、前回書いた記事の続きです。
前回は「 $2^{100}$ の下２桁はいくつか」という問題を考えました。
tsujimotter.hatenablog.com

この問題は「 $\bmod{100}$ における $2^{100}$ 」を計算すればよく、さまざまなアプローチにより

$2^{100} \equiv 76 \pmod{100}$

と計算できるのでした。

ところで、この $76$ という数は自己同型数でもあるのでした。

自己同型数（Automorphic number）とは、ある $k$ が存在して

$x^2 \equiv x \pmod{10^k}$

が成り立つ $x$ のことです。

要するに、二乗した数と元の数の下 $k$ 桁が一致する数（二乗して元に戻ってしまう数）というわけですね。

$k = 2$ のとき $\bmod{100}$ の場合、自己同型数は $0, \; 1, \; 25, \; 76$ の4つだけであることが知られています。

そんなわけで $2^{100}$ が自己同型数であることがわかったわけですがこれは偶然なのかを考えたいと思います。これが今日のテーマです。

ところで、前回は $2^{100}$ を考えましたが、考えてみると20乗の段階で

$2^{20} \equiv 76 \pmod{100}$

なのでした。よって以降は $2^{20} \bmod{100}$ が自己同型数であるのはなぜかという点について考えたいと思います。

2025-02-20

「2の100乗の下2桁はいくつか？」の解法7選

数学日曜数学整数論

お久しぶりです。tsujimotterです。

今日考えたいテーマは、横山明日希さんのこちらの問題です：

文字数が少ない問題作りました。ちょっとだけ工夫して解ける問題ですが、地道に計算してもよいかもしれません。 pic.twitter.com/CYh0ZZ7O43
— 横山明日希 (@asunokibou) 2025年2月18日

念の為、こちらにも問題文を掲載しておきます：

中学・高校数学レベルでも解けそうな問題ですが、考えてみると面白そうだなと思いました。色々なアプローチで挑んでみたいと思います。

この問題は要するに $2^{100}\bmod{100}$ を計算せよということです。
tsujimotterのノートブックでは、以前べき乗する基数 $3$ が法 $19$ と互いに素な場合の問題を扱いました。
tsujimotter.hatenablog.com

しかし、今回は $2$ が法 $100$ と互いに素ではない点がポイントです。

このブログのウリの一つは「素朴な問題を大学数学を使って考える」ことだと思います。
今回も簡単なものから難しいものまで 7通りの解法を紹介したいと思います。

解法1：素朴に計算する
解法2：100で割ったあまりに着目する方法
解法3：繰り返し自乗法を用いる方法
解法4： $2^{10} = 1024$ を用いる方法
解法5：組合せ論的な解法
解法6：中国剰余定理を用いる方法
解法7：環論的に考える（おまけ）

ぜひ最後までお楽しみください！

2025-01-16

相談記事：こんな感じであってますかね？

自由研究・独自研究

学生の研究指導をしている中で、こんな問題に行き当たりました。
色々考えているうちに、自分の中で整理は出来てきたのですが、このような整理でよいのかどうか自信が持てずにいます。
（私が知らないだけで、定番っぽい問題な気もするのですが・・・）

なお、この問題は学生の研究の本題とは直接関係ありませんので、その点はお気になさらず。

頂点集合 $V = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の完全グラフ $G$ を考えます。頂点数はさして問題ではないので一般に $n = |V|$ としておきます。

各辺には距離 $d(i, j)$ が設定されています。

頂点 $i$ から頂点 $j$ へと条件付き確率 $p(j | i)$ で遷移することを考えます。初期状態 $t = 0$ は確率 $p(i)$ で決まります。

$t = 0$ から初めて、頂点間を $t = T$ ステップ遷移することを考えたとき、そのパスの距離の総和は期待値は？

という問題です。

複雑な計算になりそうなので、 $T = 1, 2$ あたりから計算してみます。

$T = 1$ のとき：
$t = 0$ で確率 $p(i)$ で頂点 $i$ が選ばれます。
そこから $t = 1$ のとき、頂点 $j$ に条件付き確率 $p(j | i)$ で遷移します。

したがって、確率 $p(i) p(j | i)$ でパス $i\to j$ を通ります。そのパスの距離は $d(i, j)$ なので、パスの距離の総和の期待値は

$\displaystyle \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} p(i) p(j | i) d(i, j) \tag{1}$

となります。

$T = 2$ のとき：
$t = 0$ で確率 $p(i)$ で頂点 $i$ が選ばれます。
$t = 1$ のとき、頂点 $j$ に条件付き確率 $p(j | i)$ で遷移します。
$t = 2$ のとき、頂点 $k$ に条件付き確率 $p(k | j)$ で遷移します。

したがって、確率 $p(i) p(j | i) p(k | j)$ でパス $i\to j \to k$ を通ります。そのパスの距離は $d(i, j) + d(j, k)$ なので、パスの距離の総和の期待値は

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} p(i) p(j | i) p(k | j) \left(d(i, j) + d(j, k) \right) \tag{2}$

となります。

このまま続けていくと、どんどん変数が増えて大変なので、次のように書き換えます：

$\displaystyle \begin{align*} &\sum_{i_2 = 1}^{n} \sum_{i_1 = 1}^{n} \sum_{i_0 = 1}^{n} p(i_0) p(i_1 | i_0) p(i_2 | i_1) \left(d(i_0, i_1) + d(i_1, i_2) \right) \\ &= \sum_{i_2 = 1}^{n} \sum_{i_1 = 1}^{n} \sum_{i_0 = 1}^{n} \left\{ p(i_0) \prod_{t=1}^{2} p(i_{t} | i_{t-1}) \left(\sum_{t=1}^{2} d(i_{t-1}, i_t) \right) \right\} \end{align*}$

一般に $T$ ステップ遷移した際のパスの距離の総和の期待値は

$\displaystyle \sum_{(i_0, i_1, \ldots, i_T) \in V^{T+1}} \left\{ p(i_0) \prod_{t=1}^{T} p(i_{t} | i_{t-1}) \left(\sum_{t=1}^{T} d(i_{t-1}, i_t) \right) \right\} \tag{3}$