「接吻数問題」という数学の問題があります．なんとも変な名前の問題ですが今日はそのお話です．
実は今回のテーマは，私が１年半前に書いた 691 の記事 に深く関連しています．私のブログでしばしば取り上げている「ラマヌジャンのデルタ」や「保型形式」といったトピックにも深く関連しています．
上記をブログで書いた当初は，今回のテーマ（特に「リーチ格子」について）はまったく理解していませんでした．調べても調べても私が理解できる解説に行き当たらず，諦めて断念してしまっていたのです．
ところがついさっき，ふと調べ直してみたところ，当時どうしても理解できなかった概念が，なんともすっきり理解できてしまいました．これまでの蓄積した知識が数珠つなぎ的につながったような不思議な感覚でした．
「これはブログにまとめるしかない！」と思い立って，興奮を抑えつつ（あまり抑えきれていませんが）この記事を書いています．
小難しい話も入ってきますが，とてもわくわくするトピックだと思いますので，ぜひご覧ください！
続きを読む最近こんなニュースが話題になっているようです。中国人の一般男性が「カーマイケル数」を導出する方法を再発見した、とのこと。
news.livedoor.com
一部引用すると
河南省の青年・余建春さんは短大卒でここ数年は、アルバイトで生計を立てている。そんな余さんは数学が大好きで、「カーマイケル数」を導く新たな計算法を発見したという。米ミズーリ大学の数学者は、「この計算方法で、正しいカーマイケル数が導けることを確認できれば、大発見」としている。中青在線が報じた。
とのことです。
CNNの記事もみつけました。どうやらこっちが元ネタのようです。
edition.cnn.com
実は、これらのニュースで登場する「カーマイケル数」が、前回投稿したばかりの「フェルマーの小定理」と非常に縁が深いのです。これはよいタイミングだなと思いましたので、今回はカーマイケル数についてご紹介したいと思います。
続きを読むご無沙汰しております。約３ヶ月ぶりの投稿です。
４月より職場がかわったのですが、仕事に慣れるまでに期間がかかってしまい、ブログの更新が滞っておりました。その間も日曜数学は楽しく続けておりましたので、少しずつブログの方でも公開していけたらと思います。
久しぶりの記事のテーマは「フェルマーの小定理」です。フェルマーの小定理と言っても、よく知られるような数論的なものではなく、群論的 なフェルマーの小定理の類似物です。実は、フェルマーの小定理は群論的にも考えることができるんです。しかも、その証明の方法が巧妙で面白い。
今回の記事は、群論をちょっとだけかじったことがある、少し前の私のような人を想定した記事です。知らない人にはちょっと難しいかもしれませんが、雰囲気だけ追ってもらって、数学的な発想の面白さを共感してもらえたら嬉しいです。
なお今回の記事では、テーマがフェルマーの小定理ということもあって、素数が多々登場します。 という記号はすべて、素数を表すためだけに用いたいと思います。
以前、 という素数に関する以下の記事を書いたのを覚えていますか。
tsujimotter.hatenablog.com
この問題について、twitter で以下のような投稿をしたのです。
【29】「x^4+y^4+z^4 は x=y=z=p を除いて p で割り切れない」を満たす素数 p は 5, 29 だけ…らしい！オイラーが証明したらしいけれど、私はその証明を知らない。29才の頃からずっと気になっている命題 #私の大好きな素数たち
— tsujimotter (@tsujimotter) 2016年4月28日
すると、nishimura さんという方からお返事が。
@tsujimotter x^4+y^4+1≡0 (mod p) の解の個数N(p)を考えると
— nishimura (@icqk3) 2016年4月28日
4次曲線の種数は3以下なのでハッセヴェイユ境界によると
p+1-6√p ≦ N(p) ≦ p+1+6√p なので
pがある程度大きいとき N(p)＞0 が言えると思います
なんと代数曲線の解の個数に問題を帰着して、解ける可能性があるというのです！！
家に帰ってから、テンションが上がるのを抑えて（抑えきれていないけど）計算してみると、たしかに証明できました！！！
うおおお！！！
というわけで、興奮しながらこの記事を書いています！
証明のヒント（というかほぼ答え）を教えてくださった nishimura さんに感謝です！本当にありがとうございます！
続きを読む腹痛のためベッドの中で引きこもっていたら、4n+1型, 4n+3型の素数をそれぞれ列挙し合う新しいゲーム「フェルマーゲーム」が生まれました！腹痛もたまには良いことしますね。笑
ゲームのルールは、にせいさんがブログでまとめてくれました。
左側の正十二面体を持っている人が私です（念のため）
続きを読む今日は私がまさに今現在勉強している「素イデアルの分解法則」についてお話ししたいと思います。
素イデアルの分解については，これまでの記事でも「フェルマーの二平方定理」やその関連する法則について触れてきましたので，ずっと興味はあったのです。しかしながら，個別ケースの調査にとどまっており，一般論にはいたっていませんでした。
一般的には「類体論」とよばれる理論があって，その系として上記の話は示されるそうです。「類体論までは踏み込まずとも，その手前ぐらい（具体的には「ヒルベルトの理論」くらいまで）は理解したい」そう思って，今まで斜め読みしかしていなかった専門書に本腰入れて取り組むことに決めました。*1
ようやくその正体がわかってきて，先日は「フロベニウス自己同型」の素晴らしさに感動しました。今日は，その感動を文章として残すべく（そして，自分の理解度を試すべく）記事をかきたいと思います。
「ガロア理論」や「イデアル論」を前提とした議論が続くので，これまでの記事と比べてレベルはぐーんと跳ね上がると思います。そのため，ある程度勉強したことがある人向けの記事となってしまいますが，ご了承ください。
でも，理解できたら面白い話だと思います！
（そのうち，ここで話した内容の前提となる知識について，もう少し易しくまとめたいですね。）
*1:正直なところ，不勉強ゆえに「類体論」や「ヒルベルトの理論」が差す範囲をよくわかっていなかったりします。間違ったことを言っていればご指摘ください。
