2019-08-27

ヘロンの三角形と連分数

数学整数論

今日の話題は、数学のお兄さんこと横山明日希さんによるこちらのツイートから。

3辺の長さが整数723、724、725で構成される正三角形に近い三角形の面積は、なんと整数226974になる pic.twitter.com/tOy63OJZ6h
— 横山明日希 (@asunokibou) 2019年8月22日

辺の長さが整数723、724、725で構成される正三角形に近い三角形の面積は、なんと整数226974になる

三角形の3辺 723, 724, 725はすべて整数で、かつ、面積も整数です。

「こんな三角形どうやって見つけるの？」

というのが今日のテーマです。

実は、連分数を使うと見つけることができます。これが今日一番の面白ポイントです。

tsujimotterはちょうど最近、連分数にはまっていまして、その意味でもグッドなタイミングでこのお話を知ることができました。

よろしければお付き合いください。

2019-07-26

3次方程式の判別式

数学代数学

$n$ 次多項式

$f(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_2 X^2 + a_1 X + a_0$

を考えるとき、方程式 $f(X) = 0$ の判別式とは、 $n$ 個の解 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ を用いて

$\displaystyle \Delta = a_n^{2n-2} \prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)^2$

と表せる量のことです。

たとえば、3次方程式 $f(X) = X^3 + pX + q = 0$ を考えて、その3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき

$\displaystyle \Delta = (\alpha - \beta)^2(\beta - \gamma)^2(\gamma - \alpha)^2$

と表すことができますね。要するに、すべての解の差をとり、2乗して掛け合わせたものですね。

定義から明らかなように、 $f(X)$ が重根を持つなら判別式は 0 となります。つまり、判別式は重根の存在の判定器になっているということですね。ほかにも判別式にはいろいろな面白いことがありますが、今日は深入りはしません。

さて、今日はこの3次方程式の判別式を計算したいと思います。

2019-07-14

モジュラー曲線(4)：レベル構造付き楕円曲線とモジュライ空間

数学モジュラー曲線楕円曲線

前回の記事では、モジュラー曲線 $Y(1)$ と楕円曲線の同型類全体が全単射であることを示しました。すなわち、 $Y(1)$ は楕円曲線の（同型類の）モジュライ空間になっているということでした。
tsujimotter.hatenablog.com

今回はレベル構造が入ったモジュラー曲線 $Y_1(N)$ を考えたいと思います。このモジュラー曲線は一体何のモジュライ空間なのかというのが今回の主題です。

実は、上の話の類似で、 $Y_1(N)$ はレベル構造が付いた楕円曲線のモジュライ空間になっています。今日はそれを示すのを目的とします。

2019-07-07

モジュラー曲線(3)：複素トーラスとしての楕円曲線

数学楕円曲線モジュラー曲線

今回の記事は、楕円曲線についての基礎的な事項についてのおさらいです。

これまでのtsujimotterのノートブックでは、色々な記事で楕円曲線について紹介してきました。しかしながら、どれも文字数や手間の関係で駆け足で紹介せざるを得ませんでした。ここで一度腰を据えて丁寧に解説したいと思います。

楕円曲線は、代数曲線としての側面を紹介することが多いですが、今回は複素トーラスとしての側面について中心に紹介します。これは、後でモジュラー曲線に関する記事で使うことを想定しています。

モジュラー曲線関連の情報は、以下のタグの一連の記事でまとめているところです。
tsujimotter.hatenablog.com

なお、今回の記事はモジュラー曲線に関するシリーズ記事の一環で書いていますが、今回の記事に関して言えば、これまでの知識なしで読めるものとなっています。

2019-07-04

曲線と関数体 (2)：楕円曲線の加法はなぜ「あの」定義なのか？

数学代数幾何楕円曲線

今回のテーマは

楕円曲線の加法はなぜあの定義なのか？

です。前回に引き続き、楕円曲線の謎に迫っていきましょう。

前回の記事はこちら：
tsujimotter.hatenablog.com

2019-07-01

曲線と関数体 (1)：楕円曲線はなぜ３次曲線で表せるのか？

数学代数幾何楕円曲線

楕円曲線とは（細かいことを抜きにして言えば *1）

$Y^2 = X^3 + aX + b$

という式で表される曲線のことです。上の方程式のことを、楕円曲線の定義方程式といいます。

時と場合によって微妙に定義式の書き方が異なったりますが、左辺の $y$ の指数はいつも 2乗になっていて、右辺の式はいつも決まって 3乗になっています。

なぜこんな形の式を考えるのでしょう。

楕円曲線について勉強した人は、一度くらい、このような疑問を持つのではないでしょうか。

ところで、楕円曲線の定義として、以下のものを思い浮かべた方もいるかもしれません。

種数1の非特異射影代数曲線を楕円曲線という

上記の定義には、定義方程式の形が一切出てきませんが、冒頭の定義と一致するのでしょうか。

ここでは、種数1 という情報がポイントです。ほぼこの情報だけから、楕円曲線の定義方程式の形状が決定されるのです。

代数曲線の理論には、リーマン・ロッホの定理という重要な定理があって、楕円曲線の上で定義される関数の空間の次元を、種数を用いて特定することができます。特定した関数の空間における関係式を用いて、定義方程式を決定することができるのです。

ざっくりと流れを説明しましたが、以降で詳しく解説します。

*1:楕円曲線の定義としては、正確に言えば以下のものです。楕円曲線とは、 ①非特異な射影曲線であって ②上の式に双有理同値な曲線のことです。さらに言えば、係数体の標数が2でも3でもない場合はこれでよいのですが、標数が2や3の場合には $Y^2 = X^3 + aX + b$ ではなく $Y^2 + aXY + bY = X^3 + cX^2 + dX + e$ という式に双有理同値な曲線を楕円曲線といいます。が、今回は細かいところを抜きにして、標数 0 のものだけを考えます。その上で、 $Y^2 = X^3 + aX + b$ で表された曲線のことを楕円曲線ということにしましょう。