自由研究：ラマヌジャン定数のナゾ(2) - tsujimotterのノートブック

注意
この記事は数字が大好きなだけの数学素人 tsujimotter の自由研究です。内容の正確性は一切保証しません。

前回の記事の続きです。企画倒れにならなくてよかった・・・。

自由研究：ラマヌジャン定数のナゾ(1) - tsujimotterのノートブック

疑問の１つに答えていきましょう。

1. 左辺を変化させると本当にラマヌジャン定数が出てくるのか

この疑問の解決は比較的簡単です。

まず、復習がてら左辺とは、

$\displaystyle j\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{-d})\right)$

のこと。

この $-d$ の類数が 1 のときに限り、この値が三乗数になるのでした。
ちなみにこの結果は、Hermite が 1859年に示唆していたそうです。

http://www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm10.pdf

Hermite はあのエルミート行列のエルミートです。やっぱり数学の天才っていろんなところに顔を出すのですね。

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写真：Charles Hermite (1822-1901)

これらの知見を、整数を $(-Y)$ として、次のように表現しましょう。

$\displaystyle j\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{-d})\right)=(-Y)^3$

マイナスを付けた理由はあとでわかります。

そして、j-関数の q-展開の定義は次のようなものでした。

$\displaystyle j(\tau)=\frac{1}{q}+744+\sum_{i=1}^\infty c_n q^n$

前回説明しませんでしたが、右辺の変数 $q$ は関数の引数である $\tau$ の関数で、次のように定義されます。

$\displaystyle q(\tau) = \exp({2\pi i \tau})$

ここで、 $\exp(x)$ は指数関数 $e^x$ のことです。

さぁ、それでは $\displaystyle \tau=\frac{1}{2}(1+\sqrt{-d})$ を代入していきましょう。

まずは、 $q(\tau)$ から。

$\displaystyle \begin{eqnarray} q\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{-d})\right) &=& \exp\left(2\pi i \cdot \frac{1}{2}(1+\sqrt{-d})\right) \\ &=&\exp\left(2\pi i \cdot \frac{1}{2}+2\pi i \cdot \frac{1}{2}\sqrt{-d}\right) \\ &=&\exp(\pi i) \cdot \exp(\pi i \sqrt{-d}) \end{eqnarray}$

$\sqrt{-d} = i\sqrt{d}$ より

$\displaystyle \begin{eqnarray} &=&\exp(\pi i) \cdot \exp(-\pi \sqrt{d}) \\ &=&\frac{\exp(\pi i)}{\exp(\pi \sqrt{d})} \end{eqnarray}$

オイラーの公式 $\exp(\pi i) = -1$ より

$\displaystyle =-\frac{1}{e^{\pi \sqrt{d}}}$

よって、

$\displaystyle q\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{-d})\right)=-\frac{1}{e^{\pi \sqrt{d}}}$

これを $j(\tau)$ の定義における第1項目に代入すると、

$\displaystyle j\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{-d})\right)=-e^{\pi \sqrt{d}}+744+\sum_{i=1}^\infty c_n q^n$

これが整数の三乗になるから

$\displaystyle (-Y)^3=-e^{\pi \sqrt{d}}+744+\sum_{i=1}^\infty c_n q^n$

両辺移項して、

$\displaystyle e^{\pi \sqrt{d}}=Y^3+744+\sum_{i=1}^\infty c_n q^n$

（このために、わざわざマイナスをつけておいたわけです。）

さぁ、ついにこれで、ラマヌジャンの定数の公式ができました！

この形は、見覚えありますね！

そう、これです。

$\displaystyle \begin{eqnarray} e^{\pi \sqrt{19}} &\approx& 12^3(3^2-1)^3+744-0.22 \\ e^{\pi \sqrt{43}} &\approx& 12^3(9^2-1)^3+744-0.00022 \\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx& 12^3(21^2-1)^3+744-0.0000013 \\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx& 12^3(231^2-1)^3+744-0.00000000000075 \end{eqnarray}$