tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

ラマヌジャンの円周率公式

今年も3月14日、3.14の日がやってきました。3.14といえば、もちろん円周率の近似値ですね!

円周率の近似値にちなんで、世界的には 円周率の日(英語圏だとPIの日)と呼ばれているそうです。


毎年、この日にブログに書きたいと思っていた(できずにいた)話があります。それが次の ラマヌジャンの円周率公式 です。

 \displaystyle \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4n)! (1103+26390n)}{(n!)^4 \cdot 396^{4n}} \tag{1}


なんじゃこりゃ と思うような公式ですね。

9801、1103、26390 といった謎めいた整数を複雑に絡み合わせた無限級数を計算すると、なんと円周率の逆数が出てくるというのです。

ラマヌジャンはインドが生んだ著名な数学者で、数学者の中でも群を抜く奇才として知られています。上の公式は、まさにラマヌジャンの奇才っぷりを詰め込んだような式になっていますね。

しかもこの公式、こんな見た目をしておきながら めちゃくちゃ収束が早い そうで、一時期は円周率を世界最高の精度で計算するプログラムに使われていたそうです。

ラマヌジャン自身はこの公式の証明を残しておらず、後の数学者によって証明は与えられています。しかし、彼独自の考え方はあったにせよ、こんな複雑な式を予想したというのはかえって不思議さが増してしまいますね。


こんな魅力的な公式なので、いつかはブログ記事にまとめたいと考えていました。とはいえ、いつか書きたいと思っていても、何もしなければ一生書けないとも思いました。

円周率の日にかこつけて、行けるところまでこの公式についての解説を試みたいと思います*1

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参考文献

先に参考文献を挙げておきます。今回は数学セミナーの2018年12月号に掲載された塚本真輝さんの記事「京都大学ガロア祭 問題7」を参考にさせていただきました。

数学セミナー 2018年 12 月号 [雑誌]

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まずは遊んでみよう

せっかくなので、ラマヌジャンの公式の精度の高さを味わってみましょう。

まず驚きなのは、無限級数を  n = 0 まで足した結果です。 n = 0 までで打ち切ると、色々な項が消えて

 \displaystyle \frac{2\sqrt{2}\times 1103}{9801}

となります。これをGoogle検索で計算してみましょう:

https://www.google.com/search?q=2*sqrt(2)*1103%2F9801


結果は

0.31830987844

となるのですが、この逆数をとると

3.14159273001

となり、なんと小数第6位まで一致しています! 凄まじいですね。まだ  n = 0 までですよ。


Pythonで軽く計算してみると次のようになりました:

n = 0 まで: 3.1415927300133055
n = 1 まで: 3.1415926535897936
n = 2 まで: 3.141592653589793
n = 3 まで: 3.141592653589793

太字のところが円周率の正確な値と一致している部分です。たった  n = 2 までを計算しただけで、表示される桁の分は計算しきってしまいました。精度が高すぎて、検証するためにはもっと高精度で計算できるプログラムを書かなければいけないようです。


STEP1: ルジャンドルの関係式

それでは、上のラマヌジャンの公式がいったいどうやって導かれるのか、考えていきたいと思います。

まず、円周率の公式を求めるにあたっては、円周率を表す既存の関係式からスタートするのが自然な発想かと思います。


今回用いるのは次の ルジャンドルの関係式 です。

 0 < k < 1 k' = \sqrt{1-k^2} としたとき
 \displaystyle \frac{\pi}{2} = E(k) K(k') + E(k') K(k) - K(k) K(k') \tag{2}
が成り立つ。

何はともあれ、左辺に円周率が入っているところが注目ポイントです。

 K(k), E(k) はそれぞれ第1種完全楕円積分第2種完全楕円積分と呼ばれるものです。定義は次の通り:

 \displaystyle  K(k) = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} \tag{3}
 \displaystyle  E(k) = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}} dx \tag{4}

このような積分は「楕円の孤の長さ」を計算する際に必要だったという経緯があります。

たとえば、円1/4の孤の長さは

 \displaystyle \frac{\pi}{2} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

のように表されます。これを楕円に変えると、上のような積分が現れるというわけですね。

なお、式  (3)・式  (4) において  k = 0 とすれば、円弧の積分と一致します。つまり、円弧の積分の拡張になっているわけです。

円弧の積分の積分範囲を  0 から  x の範囲で動かすと  \sin の逆関数になります。一方、 (3), (4) の積分において、積分範囲を同様に動かして得られる関数は、初等関数では表すことができません。そこで、新たに「楕円関数」という関数を導入することで、初等関数に留まらない新しい関数論の世界が広がっていくわけですね。


この辺が楕円積分が導入された背景です。語りたいことはたくさんありますが、先に進みましょう。

 K(k), E(k) についている  k は、モジュラス と呼ばれるパラメータです。この  k を動かすと、積分はさまざまな値をとるわけですね。この  k に対応するように

 k' = \sqrt{1-k^2}

というパラメータを用意します。 k' k に従属しているので、 k が動くと、それに合わせて   k' も動きます。

この  k, k' を用いて式  (2) の右辺のように楕円積分を計算すると、なんと円周率が出てくるというのですね。


しかも面白いことに、パラメータ  k によらず左辺が一定値になっている のです。これは面白いことですね。


証明の流れを簡単に追いたいと思います。関数  EK' + E'K - KK' k で微分すると

 \displaystyle \frac{d}{dk}(EK' + E'K - KK') = 0

となります。ただし、 E = E(k), E' = E(k'), K = K(k), K' = K(k') と略記しています。 \frac{dE'}{dk}, \frac{dK'}{dk} については、 E', K' k の関数だと思って微分することになります。

簡単に書いていますが、この計算はやってみるとものすごく大変でした。

微分して  0 になるということは、 k を動かしても  EK' + E'K - KK' は定数として振る舞うということですね。


定数ということは、 k に何を入れても同じ結果になるということです。ということは、一番計算しやすいパラメータを選んであげれば良いですね。実際、 k\to 0 とすると

 \displaystyle EK' + E'K - KK' \xrightarrow{k \to 0} \frac{\pi}{2}

となることがわかり、ルジャンドルの関係式が得られるというわけです。

以上の計算過程は次の記事のp.19以降で読むことができます。なので、今回の記事では省略します。
http://www.oishi.info.waseda.ac.jp/~samukawa/GaussLeg2.pdf

ルジャンドルの関係式自体非常に面白い対象なので、また別途取り扱うときに詳細を紹介しましょう。

 
 

STEP2: 超幾何級数に帰着

ルジャンドルの関係式によって、円周率が楕円積分によって計算できることがわかりました。

楕円積分は積分の形になっていますが、一方のラマヌジャンの公式は級数の形です。したがって、楕円積分を級数の形に表す必要がありいます。どうすればよいでしょうか。


そんなときに使えるのが、超幾何級数 です。 超幾何級数は以前の記事でも紹介したことがありました:
tsujimotter.hatenablog.com

また会えたね。


超幾何級数は、以下の式で表される無限級数でした:

 \displaystyle F(a, b, c; x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{n! (c)_n}x^n \tag{5}

ここで  (a)_n はポッホハマー記号と呼ばれるもので

 (a)_n = a(a+1)(a+2) \cdots (a+n-1)

と定義されるのでした。


このパラメータがたくさんあるお化けのような関数が超幾何級数です。とにかく  a, b, c と3つもパラメータがついているので、いろんな関数をシミュレートできます。

たとえば、対数関数や逆三角関数は

 \displaystyle F(1, 1, 2; -x) = \frac{\log(1+x)}{x}
 \displaystyle F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}; x^2) = \frac{\arcsin(x)}{x}

のように表すことができます。


同じ要領で、先ほどの楕円積分も次のように表すことができます:

 \displaystyle F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k^2) = \frac{2K(k)}{\pi} \tag{6}
 \displaystyle F(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k^2) = \frac{2E(k)}{\pi} \tag{7}

すごいですね! 最初この事実を知ったときは、超幾何関数はこんな風に使えたのか、と驚いた記憶があります。


ルジャンドルの関係式の両辺に  4/\pi^2 をかけて、超幾何級数を代入すると次のようになります:

 \displaystyle \begin{align} \frac{2}{\pi} &= \frac{2E(k)}{\pi} \frac{2K(k')}{\pi} + \frac{2E(k')}{\pi} \frac{2K(k)}{\pi} - \frac{2K(k)}{\pi} \frac{2K(k')}{\pi} \\
&= F(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k^2) F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k'^2) + F(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k'^2) F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k^2) \\
& \;\;\;\;\;\;- F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k^2) F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; k'^2) \end{align}


これで左辺は円周率の逆数によって表されており、右辺はモジュラス  k k' = \sqrt{1-k^2} を用いた無限級数(超幾何級数)の和の形に表すことができました。

これにて、円周率の逆数を無限級数で表すという、ラマヌジャンの公式の概形を導くことができたわけですね。これで目的の大部分を達成できました。


今のところ、 k としてはいかなる値を選んだとしても、 \frac{2}{\pi} に収束することになります。問題は「どのモジュラス  k を選んだときにラマヌジャンの公式が得られるのか」ということですね。


おわりに

実はここからが一番面白いところです。

 k k' = \sqrt{1-k^2} が、 N 次のモジュラー方程式と呼ばれる方程式の解であるときには、楕円積分  K(k) K(k') あるいは  E(k) E(k') の各特殊値の間に非自明な関係式が得られるのだそうです。

これを使うと、本来超越数になってもおかしくないはずの楕円積分やその組み合わせから代数的数が現れて、いい感じにきれいな係数の公式(ラマヌジャンの公式)が得られるのだとか。

しかしながら、この辺で私の理解の限界がきてしまったようです。これ以上知ったかぶって書くのも忍びないので、改めてちゃんと理解したら続きを書きたいと思います。


ラマヌジャンの公式は高度な数学が詰まったまるで宝石箱のような公式ですね。この公式を真の意味で堪能できるよう、これからも勉強していきたいと思います。

それでは今日はこの辺で!よい円周率の日を!


The equation to which the thought about the god isn’t expressed is worthless for me.

Srinivasa Ramanujan.


*1:深夜の0時から書き始めて、そこから力尽きるまで書いてみます。